Distribució de Maxwell-Boltzmann

La distribució de Boltzmann o distribució de Maxwell-Boltzmann és una distribució de provabilitat de les velocitats d'un gas associada a l'estadística de Maxwell-Boltzmann para dit sistema. Va ser formulada originalment pels físics J. C. Maxwell i L. Boltzmann.

Davant la pregunta de «¿Quin és la distribució de velocitats en un gas a una temperatura donada?» apareix una resposta presentada com la distribució de Maxwell-Boltzmann, la qual nos mostra cóm estan distribuïdes les velocitats de les molècules en un gas ideal.

Tècnicament, el terme distribució de Boltzman es reserva per a la funció de provabilitat de l'energia de les partícules, mentres que el terme distribució de Maxwell-Boltzmann es reserva per a la distribució de provabilitat de la velocitat de les partícules (existix una relació matemàtica fixa entre abdós).

Distribució de Maxwell-Boltzmann

Distribució de velocitats d'un conjunt d'1.000.000 molècules d'oxigen (0.032 kg/mol) a tres temperatures diferents: -100 °C; 20 °C i 600 °C. A major temperatura el màxim del histograma es desplaça a majors velocitats.

Matemàticament, la distribució de Maxwell-Boltzmann és la distribució d'una variable aleatòria escalar $X=\sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}$ combinació d'atres tres variables aleatòries $X_i$ cada una de les quals es distribuïx segons una distribució normal $X_i\sim N(0,a^2)$.

Físicament el mòdul de la velocitat d'una molècula $v$ és igual a la raïl de la suma dels quadrats de les velocitats coordenades de la partícula $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$, i com cada una d'elles seguixen distribucions gaussianas llavors $v$ deu seguir una distribució de Maxwell-Boltzmann explícitament:

a on m és la massa de la partícula i kT ve donada pel producte de la constant de Boltzmann i la temperatura absoluta.

Paràmetros estadístics

És habitual obtindre certs paràmetros estadístics d'esta distribució, com són:

• La velocitat més provable, v_p, que ve dau pel màxim de la funció de distribució de Maxwell, també cridada en estadística, la moda. Per a trobar-la solament cal calcular:

$\frac{df(v)}{dv}=0$

lo que nos du a:

$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{m{N}_A}}$,

a on R és la constant dels gasos, N_A el número de Avogadro i m és la massa de les partícules del gas.

Per eixemple, per al nitrogen molecular (N₂) a temperatura ambiente (300 K), açò resulta v_p = 422 m/s.

• La velocitat mija o valor esperat de la distribució de velocitats és:

$⟨v⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}vf(v)dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi m{N}_A}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{v}_p$

• La velocitat quadràtica mija, que és el moment de segon orde de la velocitat:

$\sqrt{⟨v^2⟩}={(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{2}f(v)dv)}^{1/2}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{m{N}_A}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{v}_p$

Com pot vore's, estes tres velocitats estan sempre relacionades per:

$0,886⟨v⟩=v_p<⟨v⟩<\sqrt{⟨v^2⟩}=1.085⟨v⟩.$

• Commons
• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Distribució de Maxwell-Boltzmann.