Estadística de Maxwell-Boltzmann

Archiu:Función densidad de distribución Maxwell-Boltzmann.png

Representació gràfica de la funció densitat de distribució de Maxwell-Boltzmann.

En física, la estadística de Maxwell-Boltzmann és una funció estadística desenrollada para modelar el comportament de sistemes físics regits per la mecànica clàssica. Esta funció estadística clàssica, formulada originalment pels físics J.C. Maxwell i L. Boltzmann, rig la distribució d'un conjunt de partícules en funció dels possibles valors d'energia dels estats que estes poden ocupar. Per a cada sistema termodinàmic, la distribució de Maxwell-Boltzmann no és una atra cosa que l'aplicació del colectiu canònic de la mecànica estadística, baix el supòsit no-quàntic de que els números d'ocupació de cada estat disponible són menuts comparats en el número màxim d'ocupació.

Esta funció és una densitat de provabilitat l'expressió de la qual és:

$f (ϵ_{i}) = A (N; T) e^{- ϵ_{i} / k T}$

O de forma més generalisada, pot expressar-se com:

$\frac{N_{i}}{N} = \frac{g_{i}}{e^{(ϵ_{i} - μ) / k T}} = \frac{g_{i} e^{- ϵ_{i} / k T}}{Z}$

En a on:

$A (N; T)$ : és una funció depenent de $N$ , el número de partícules en el sistema i de $T$ , la temperatura del sistema en Kelvin.
$N_{i}$ és el número de partícules en l'estat i.
$ϵ_{i}$ és l'energia de l'estat i-ésimo.
$g_{i}$ és la degeneració del nivell d'energia i, és dir, el número d'estats (excloent l'estat de partícula lliure) en energia $ϵ_{i}$ .
$μ$ és el potencial químic.
$k$ és la constant de Boltzmann.
$N$ és el número total de partícules:

N = \sum_{i} N_{i}

$Z$ és la funció partició:

Z = \sum_{i} g_{i} e^{- ϵ_{i} / k T}

$e$ és el número de Euler.

La distribució de Maxwell-Boltzmann s'ha aplicat especialment a la teoria cinètica de gasés, i uns atres sistemes físics, ademés d'en econofísica per a predir la distribució de la renda. En realitat la distribució de Maxwell-Boltzmann és aplicable a qualsevol sistema format per N "partícules" o "individus" que interacambian estacionariamente entre sí una certa magnitut M i cada u d'ells té una cantitat m_i de la magnitut M i a lo llarc del temps es complix que M := m₁+m₂+...+ m_N.

Llímits d'aplicació

Per a un sistema de partícules quàntiques, l'hipòtesis de que $N_{i}$ siga substancialment menor que $g_{i}$ per als estats diferents del fonamental en general no es complirà i és necessari acodir a l'estadística de Bose-Einstein si les partícules són bosónicas o a l'estadística de Fermi-Dirac si les partícules són fermiónicas.

Les estadístiques de Fermi–Dirac (+) i Bose–Einstein (−) poden ser expressades com:

$N_{i} = \frac{g_{i}}{e^{(ϵ_{i} - μ) / k T} \pm 1}$

Assumint que el valor mínim de $ϵ_{i}$ és prou menut, es pot verificar que la condició en la qual la distribució de Maxwell-Boltzmann és vàlida és quan es complix que:

$e^{- μ / k T} ≫ 1$

Per a un gas ideal, podem calcular els potencials químics utilisant el desenroll de l'equació Sackur–Tetrode per a demostrar que :

$μ = {(\frac{\partial E}{\partial N})}_{S, V} = - k T \ln (\frac{V}{N Λ^{3}})$

on $E$ és l'energia interna total, $S$ és l'entropía, $V$ és el volum, i $Λ$ és el llongitut d'ona tèrmica de De Broglie. La condició d'aplicació per a la distribució Maxwell-Boltzmann en un gas ideal resulta:

$\frac{V}{N Λ^{3}} ≫ 1.$

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Estadística de Maxwell-Boltzmann» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.