Estadística de Fermi-Dirac

La estadística de Fermi-Dirac és la forma de contar estats d'ocupació de forma estadística en un sistema de fermiones.^[1]^[2] Forma part de la física estadística. I té aplicacions sobretot en la física de l'estat sòlit.

l'energia d'un sistema mecanocuántico està discretizada. Açò vol dir que les partícules no poden tindre qualsevol energia, sino que ha de ser elegida d'entre un conjunt de valors discrets. Per a moltes aplicacions de la física és important saber quàntes partículas estan a un nivell donat d'energia. La distribució de Fermi-Dirac nos diu quànt val esta cantitat en funció de la temperatura i el potencial químic.

L'estadística F-D va ser publicada per volta primera en 1926 per Enrico Fermi^[3] i Paul Dirac.^[4]

Formulació matemàtica

La distribució de Fermi-Dirac ve donada per:

$n_{i} (ε_{i}, T) = \frac{g_{i}}{e^{(ε_{i} - μ) / k_{B} T} + 1}$

a on:

$n_{i}$ el número promig de partícules en l'estat d'energia $ϵ_{i}$ .
$g_{i}$ és la degeneració de l'estat i-ésimo
$ε_{i}$ és l'energia en l'estat i-ésimo
$μ$ és el potencial químic
$T$ és la temperatura
$k_{B}$ la constant de Boltzmann

Derivació

El método amprat consistirà en obtindre la funció de partició per a la colectivitat macrocanónica, de manera que una volta obtinguda es coneixerà el gran potencial i a partir d'una relació termodinàmica s'obtindrà el número mig de partícules.

Ya que els sistemes fermiónicos són sistemes de partícules indistinguibles, els estats l'única diferència dels quals és la permutació d'estats de dos partícules són idèntics. D'esta manera, un estat del sistema estarà univocamente definit pel número de partícules que es troben en un determinat estat energètic, i en tractar-se de fermiones els números possibles són 0 i 1. Es denotarà per $ϵ_{r}$ l'estat energètic r-ésimo, per $n_{r}$ el número de partícules en l'estat r-ésimo i R cada una de les possibles combinacions de números d'ocupació. La funció de partició resulta:

$𝒵 = \sum_{l} e^{- β (E_{l} - μ n_{l})} = \sum_{R} e^{- β \sum_{r} (ϵ_{r} n_{r} - μ n_{r})} = \sum_{R} \prod_{r} e^{- β (ϵ_{r} n_{r} - μ n_{r})}$

L'anterior expressió conté totes les combinacions possibles de $n_{r}$ per als valors 0 i 1 de manera que pot ser reescrita de la següent forma:

$𝒵 = \prod_{r} \sum_{n_{r} = 0}^{1} e^{- β (ϵ_{r} n_{r} - μ n_{r})} = \prod_{r} 1 + e^{- β (ϵ_{r} - μ)}$

Aplicant que:

$Φ = - k_{B} T \ln 𝒵 y \frac{\partial Φ}{\partial μ} = - N$

es té que:

de modo que:

$n_{r} = \frac{1}{e^{β (ϵ_{r} - μ)} + 1}$

Degut a que poden existir diferents estats quàntics en una mateixa energia el número de partícules en una determinada energia vindrà dau per:

$n_{ϵ} = \frac{g_{ϵ}}{e^{β (ϵ - μ)} + 1}$

sent $g_{ϵ}$ la degeneració de tal energia.

Vore també

Notes

↑ Dirac, Paul Adrien Maurice (1981-01-01). The Principles of Quàntum Mechanics (en en), Clarendon Press, p. 149. ISBN 9780198520115.
↑ Pauli, Wolfgang. General principles of quàntum mechanics (en en), Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.
↑ (1926).Rendiconti Lincei.3
145–9., translated as Plantilla:Cite arXiv
↑ (1926).Proceedings of the Royal Society, Séries A.112(762)
661–77.doi:10.1098/rspa.1926.0133.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Estadística de Fermi-Dirac» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Dirac, Paul Adrien Maurice (1981-01-01). The Principles of Quàntum Mechanics (en en), Clarendon Press, p. 149. ISBN 9780198520115.

[2] Pauli, Wolfgang. General principles of quàntum mechanics (en en), Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.

[Fermi1926-3] (1926).Rendiconti Lincei.3
145–9., translated as Plantilla:Cite arXiv

[Dirac1926-4] (1926).Proceedings of the Royal Society, Séries A.112(762)
661–77.doi:10.1098/rspa.1926.0133.

[1]

[2]

[3]

[4]