Estadística de Bose-Einstein

La estadística de Bose-Einstein és un tipo de mecànica estadística aplicable a la determinació de les propietats estadísticas de conjunts grans de partícules indistinguibles capaces de coexistir en el mateix estat quàntic (bosones) en equilibri tèrmic.^[1]^[2] A baixes temperatures, els bosones tendixen a tindre un comportament quàntic similar que pot aplegar a ser idèntic a temperatures propenques al zero absolut en un estat de la matèria conegut com condensado de Bose-Einstein i produït per primera volta en laboratori en l'any 1995. El condensador Bose-Einstein funciona a temperatures propenques al zero absolut, -273,15 °C (0 kelvin). L'estadística de Bose-Einstein va ser introduïda per a estudiar les propietats estadístiques dels fotons en 1920 pel físic indi Satyendra Nath Bose i generalisada para àtoms i atres bosones per Albert Einstein en 1924. Este tipo d'estadística està íntimament relacionada en l'estadística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialment para gasés) i a les estadístiques de Fermi-Dirac (aplicables a partícules denominades fermiones sobre les que rig el principi d'exclusió de Pauli que impedix que dos fermiones compartixquen el mateix estat quàntic).

L'estadística de Bose-Einstein es reduïx a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies suficientment elevades.

Formulació matemàtica

El número de partícules en un estat d'energia i és:

$n_{i} (ε_{i}, T) = \frac{g_{i}}{e^{(ε_{i} - μ) / k_{B} T} - 1}$

a on:

$n_{i}$ és el número de partícules en un estat i,
$g_{i}$ és la degeneració quàntica de l'estat i o número de funcions d'ona diferents que posseïxen dita energia,
$ε_{i}$ és l'energia de l'estat i,
$μ$ és el potencial químic,
$k_{B}$ és la constant de Boltzmann,
$T$ és la temperatura.

L'estadística de Bose-Einstein es reduïx a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies:

$(ϵ_{i} - μ) > > k_{B} T$

Derivació

Ya que els sistemes bosónicos són sistemes de partícules indistinguibles, els estats l'única diferència dels quals és la permutació d'estats de dos partícules són idèntics. D'esta manera, un estat del sistema estarà unívocamente definit pel número de partícules que es troben en un determinat estat energètic. Es denotarà per $ϵ_{r}$ l'estat energètic r-ésimo, per $n_{r}$ el número de partícules en l'estat r-ésimo i R cada una de les possibles combinacions de números d'ocupació. La funció de partició resulta:

$𝒵 = \sum_{l} e^{- β (E_{l} - μ n_{l})} = \sum_{R} e^{- β \sum_{r} (ϵ_{r} n_{r} - μ n_{r})} = \sum_{R} \prod_{r} e^{- β (ϵ_{r} n_{r} - μ n_{r})}$

L'anterior expressió conté totes les combinacions possibles de $n_{r}$ entre 0 i $\infty$ (posat que en un sistema bosónico el número de partícules per estat quàntic no està llimitat) de manera que pot ser reescrita de la següent forma:

Aplicant que:

$Φ = k_{B} T l n 𝒵 y \frac{\partial Φ}{\partial μ} = - N$

Es té que:

$Φ = k_{B} T l n 𝒵 = - k_{B} T \sum_{r} l n (1 - e^{- β (ϵ_{r} - μ)})$

$\Rightarrow \frac{\partial Φ}{\partial μ} = - N = - \sum_{r} n_{r} = - \sum_{r} \frac{e^{- β (ϵ_{r} - μ)}}{1 - e^{- β (ϵ_{r} - μ)}}$

De modo que:

$n_{r} = \frac{1}{e^{β (ϵ_{r} - μ)} - 1}$

Degut a que poden existir diferents estats quàntics en una mateixa energia el número de partícules en una determinada energia vindrà dau per:

$n_{ϵ} = \frac{g_{ϵ}}{e^{β (ϵ - μ)} - 1}$

sent $g_{ϵ}$ la degeneració de tal energia.

En l'anterior expressió s'observa que el potencial químic ha de ser menor que totes les energies, de lo contrari el número mig de partícules en un estat podria ser negatiu. Este fet també es va poder haver observat en sumar la série geomètrica, ye que l'anterior condició és la condició per a la seua convergència.

Vore també

Referències

↑ Dirac, Paul Adrien Maurice (1981-01-01). The Principles of Quàntum Mechanics (en en), Clarendon Press, p. 149. ISBN 9780198520115.
↑ Pauli, Wolfgang. General principles of quàntum mechanics (en en), Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Estadística de Bose-Einstein» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Dirac, Paul Adrien Maurice (1981-01-01). The Principles of Quàntum Mechanics (en en), Clarendon Press, p. 149. ISBN 9780198520115.

[2] Pauli, Wolfgang. General principles of quàntum mechanics (en en), Springer-Verlag. ISBN 9783540098423.

[1]

[2]