Moda (estadística)

En estadística, la moda és el valor que apareix en major freqüència en un conjunt de senyes. Açò va en forma d'una columna quan trobem dos modes, és dir, dos senyes que tinguen la mateixa freqüència absoluta màxima. Una distribució trimodal de les senyes és en la que trobem tres modes. En el cas de la distribució uniforme discreta, quan totes les senyes tenen una mateixa freqüència, es pot definir les modes com indicat, pero estos valors no tenen utilitat. Per això alguns matemàtics califiquen esta distribució com «sense moda».

Moda (estadística)

Visualisació geomètrica de la moda, la mijana i de la mija d'una funció arbitrària de densitat de provabilitat.

El interval modal és el de major freqüència absoluta. Quan tractem en senyes agrupades abans de definir la moda, s'ha de definir l'interval modal.

La moda, quan les senyes estan agrupades, és un punt que dividix a l'interval modal en dos parts de la forma p i c-p, sent c l'amplitut de l'interval, que verifiquen que:

$\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1}}{n_i-n_{i+1}}$

Sent la freqüència absoluta de l'interval de la moda les freqüències absolutes dels intervals anterior i posterior, respectivament, a l'interval modal.

$\gamma n_{i-1}\gamma n_{i+1}$

Per una atra part, la moda poblacional d'una distribució de provabilitat discreta és el valor $x$ en el que la funció de massa de provabilitat alcança el seu valor màxim. En atres paraules, és el valor que té més provabilitats de ser muestreado. La moda poblacional d'una distribució de provabilitat contínua és el valor $x$, en el que la funció de densitat de provabilitat alcança el valor màxim. En atres paraules, és el valor que es troba en el pico. La moda poblacional tampoc és necessàriament única, ya que la funció de massa de provabilitat o la funció de densitat de provabilitat poden tindre el mateix valor màxim en varis punts $x_1,x_2\dots$. El cas extrem es dona en les distribucions uniformes, en les que tots els valors es donen en la mateixa freqüència.

Segons la definició anterior, els màxims globals són modes. Quan una funció de densitat de provabilitat té varis màxims locals, és comú referir-se a tots els màxims locals com a modos de la distribució. Una distribució contínua d'este tipo es denomina multimodal (per oposició a unimodal). En les distribucions unimodales simètriques, com la distribució normal o la distribució de Gauss (una distribució la funció de la qual de densitat de provabilitat forma la curva en forma de campana quan es representa gràficament), la mija, la mijana i la moda coincidixen. En mostres extretes de distribucions simètriques, la mija pot ser l'Estimador de la moda de la població. És important recordar que el valor expressat com a majoritari en un conjunt de senyes no representa necessàriament el valor de la moda estadística.

Aixina mateix, la moda es va aplicar per primera volta en el trading tècnic, per mig del concepte de moda mòvil (MM), ideat per l'espanyol Pedro L. Asensio Álvarez, a on establix com a concepte per al seu desenroll "la moda és el preu més freqüent per a un periodo determinat".

Fins a mediats de l'any 2023, no s'havia utilisat este tipo d'indicador en plataformes de trading , ya que l'us de miges mòvils estava molt més estandardisat. El bot a plataformes financeres com Metatrader, va supondre un abans i un despuix en el Trading estadístic i quantitatiu.

Història de cóm va sorgir la paraula moda en matemàtiques

El terme "moda" es va originar en 1895 en Karl Pearson, influenciat per l'expressió "estar a la moda" utilisada per a objectes molt utilisats per la societat com un model de coche, una penyora de vestir, un tipo de teléfon mòvil, entre atres utensilis que donen idea de freqüència. Si en la vida quotidiana moda significa molt usat, en estadística moda significa el valor més freqüent en un conjunt de senyes.

Segons W. Allen Wallis i Harry V. Roberts, en el llibre Course in Statistics, hi ha una referència primerenca al concepte en el sege de Platea i atenienses per part del Peloponeso i els beocios. En l'hivern del 428 a. C., els mesetaris i atenienses sitiats pels peloponesios i els beocios varen construir escales per a escapar a través de les muralles enemigues. Per a construir escales de l'altura de les muralles enemigues, molts replanells i atenienses varen contar les capes de rajoles. Encara que hi haguera errors, la majoria dels sitiats hauria encertat en els recontes. És dir, el gran número de recontes hauria segut fiable.

Moda d'una mostra

Ilustració del càlcul de la moda d'una població. Per a la població {1, 7, 4, 6, 5, 5, 3, 5}, la moda és 5.

Ilustració del comportament de les mides de tendència central en una distribució simètrica (per eixemple, una distribució normal) quan canvia la dispersió de les senyes. La curva roja descriu la densitat de provabilitat en l'espai mostral i la llínea blava representa l'ubicació de la mija, la mijana i la moda del conjunt de senyes.

Erro al crear miniatura:

Ilustració del comportament de les mides de tendència central en una distribució asimètrica negativa quan s'altera la dispersió de les senyes. La curva roja descriu la densitat de provabilitat en l'espai mostral, la llínea blava (a l'esquerra) representa la mija, la llínea groga (en el centre) representa la mijana i la llínea verda (a la dreta) representa la moda del conjunt de senyes.

Erro al crear miniatura:

Ilustració del comportament de les mides de tendència central en una distribució asimètrica positiva (per eixemple, una distribució chi-quadrat) quan s'altera la dispersió de les senyes. La curva roja descriu la densitat de provabilitat de les senyes en l'espai mostral, la llínea blava (dreta) representa la mija, la llínea groga (centre) representa la mijana i la llínea verda (esquerra) representa la moda del conjunt de senyes.

Erro al crear miniatura:

Ilustració del comportament de les mides de tendència central en una distribució bimodal, formada per atres dos distribucions en els seus respectius paràmetros, que transita entre la distribució asimètrica positiva, la distribució asimètrica negativa i la distribució simètrica a mida que s'alteren les dispersió de les senyes en l'espai mostral. La curva roja descriu la densitat de provabilitat de les senyes en l'espai mostral, la llínea blava representa la mija, la llínea groga representa la mijana i la llínea verda representa la moda del conjunt de senyes

Una mostra pot ser unimodal (un modo), bimodal (dos modos), multimodal (varis modos) i amodal (sense modo). Certes distribucions patològica com la distribució de Cantor no tenen modo establit. En una votació en la que la cantitat de vots determina la victòria, un resultat unimodal determina el guanyador, mentres que un valor multimodal requerix un desempat. La mostra es denomina homogénea quan només té una moda i heterogénea quan té més d'una moda.

El modo d'una mostra és l'element que apareix en més freqüència en la colecció. Per eixemple, el modo de la mostra [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] és 6. Donada la llista de senyes [1, 1, 2, 4, 4] el seu modo no és únic. En tal cas, es diu que un conjunt de senyes és bimodal, mentres que un conjunt en més de dos modos pot descriure's com multimodal.

Per a una mostra d'una distribució contínua, com [0,935..., 1,211..., 2,430..., 3,668..., 3,874...], el concepte és inutilisable en la seua forma bruta, ya que no hi haurà dos valors exactament iguals, per lo que cada valor ocorrerà precisament una volta. Per a estimar la moda de la distribució subjacent, la pràctica habitual consistix en discretizar les senyes assignant valors de freqüència a intervals d'igual distància, com per a fer un histograma, substituint de fet els valors pels punts mijos dels intervals als que estan assignats. La moda és llavors el valor en el que el histograma alcança el seu punt màxim. Per a mostres chicotetes o mijanes, el resultat d'este procediment és sensible a l'elecció de l'ample de l'interval si s'elegix massa estret o massa ample; normalment es deuria tindre una fracció considerable de les senyes concentrades en un número relativament chicotet d'intervals (de 5 a 10), mentres que la fracció de les senyes que cauen fòra d'estos intervals també és considerable. Un enfocament alternatiu és l'estimació de densitat kernel, que essencialment difumina mostres puntuals per a produir una estimació contínua de la funció de densitat de provabilitat que pot proporcionar una estimació de la moda.

El següent eixemple de còdic MATLAB (o Octave) calcula la moda d'una mostra:

X = sort(x);                               % x és un conjunt de senyes de vectores de columnes
indices   =  find(diff([X; realmax]) > 0); % índexs en els que canvien els valors repetits
[modeL,i] =  max (diff([0; indices]));     % llongitut de persistència més llarga dels valors repetits
mode      =  X(indices(i));

L'algoritme requerix com a primer pas ordenar la mostra en orde ascendent. A continuació, calcula la derivada discreta de la llista ordenada i troba els índexs en els que esta derivada és positiva. A continuació calcula la derivada discreta d'este conjunt d'índexs, localisant el màxim d'esta derivada d'índexs, i finalment evalua la mostra ordenada en el punt a on es produïx eixe màxim, que correspon a l'últim membre del tram de valors repetits.

Us

A diferència de la mija i la mijana, el concepte de moda també té sentit per a " senyes nominals" (és dir, que no consistixen en valors numèrics en el cas de la mija, ni tan sols en valors ordenats en el cas de la mijana). Per eixemple, si prenem una mostra de Nomene de família coreà, podríem trobar que "Kim" apareix en més freqüència que qualsevol atre nom. Llavors, "Kim" seria la moda de la mostra. En qualsevol sistema de votació en el que una pluralitat determina la victòria, un únic valor modal determina el vencedor, mentres que un resultat multimodal requeriria algun procediment de desempat.

A diferència de la mijana, el concepte de moda té sentit per a qualsevol variable aleatòria que assumixca valors d'un espai vectorial, inclosos els número real (un espai vectorial d'una dimensió) i els sancers (que poden considerar-se incrustats en els reals). Per eixemple, una distribució de punts en el pla sol tindre una mija i una moda, pero no s'aplica el concepte de mijana. La mijana té sentit quan hi ha un orde llineal en els valors possibles. Les generalisacions del concepte de mijana a espais de major dimensió són la mijana geomètrica i el punt central.

Unicitat i definició

Per a algunes distribucions de provabilitats, el valor esperat pot ser infinit o indefinit, pero si està definit, és únic. La mija d'una mostra (finita) sempre està definida. La mijana és el valor tal que les fraccions que no la superen i que no cauen per baix d'ella són a lo manco 1/2 cada una. No és necessàriament única, pero mai infinita o totalment indefinida. Per a una mostra de senyes, és el valor "a mig camí" quan la llista de valors s'ordena en valor creixent, mentres que normalment per a una llista de llongitut parell es pren la mija numèrica dels dos valors més pròxims a "mig camí". Per últim, com ya s'ha dit, la moda no és necessàriament única. Certes distribucions patològiques (per eixemple, la distribució de Cantor) no tenen moda definida en absolut. Per a una mostra de senyes finita, la moda és un (o més) dels valors de la mostra.

Propietats

• Si la variable aleatòria o si cada valor de la mostra se somet a una transformació llineal que substituïx $X$ per $aX+b$, la mija, la mijana i la moda canvien també:

$\begin{array}{c}media(aX+b)=a\cdot media(X)+b,\\ mediana(aX+b)=a\cdot mediana(X)+b,\\ moda(aX+b)=a\cdot moda(X)+b.\end{array}$

• No obstant, si hi ha una transformació monòtona arbitrària en general la moda canvia segons la transformació. Per eixemple, si $X$ se substituïx per $exp(X)$, la moda canvia de $m$ a $exp(m)$ i la mija no canvia de la mateixa manera.
• Llevat para mostres menudes, la moda no és sensible a valors discrepantes (outliers) com a llectures experimentals falses, ocasionals o rares. Mentres que la mija és molt sensible, la mijana és prou robusta en presència de valors atípics.

Interval de confiança

Encara que comuna, és una falsa creència que no és possible obtindre informació sobre la variabilitat de la població a partir d'una única observació $x$ i que no és possible un interval de confiança de llongitut finita per a la mija i/o la varianza.

És possible per a una distribució unimodal desconeguda estimar l'interval de confiança per a la moda en un tamany de mostra d'1. Açò va ser demostrat per primera volta per Abbot i Rosenblatt i ampliat per Blachman i Machol L'interval de confiança pot afinarse si pot supondre's que la distribució és simètrica. També és possible afinar l'interval si la distribució és normal.

Moda de senyes agrupades

Per a obtindre la moda en senyes agrupades s'usa la següent fòrmula:

$M=L_i+\left(\frac{D_1}{D_1+D_2}\right)A_i$

A on:

$L_i$ = Llímit inferior de la classe modal.

$D_1$ = és la diferència entre la freqüència absoluta modal i la freqüència absoluta premodal.

$D_2$ = és la diferència entre la freqüència absoluta modal i la freqüència absoluta postmodal.

$A_i$ = Amplitut de l'interval modal

Propietats

Les seues principals propietats són: Càlcul senzill. Interpretació molt clara. En dependre només de les freqüències, pot calcular-se per a variables qualitatives. És per això el paràmetro més utilisat quan en resumir una població no és possible realisar atres càlculs, per eixemple, quan s'enumeren en mijos periodístics les característiques més freqüents de determinat sector social. Açò es coneix informalmente com "retrate robot".

Inconvenients

El seu valor és independent de la major part de les senyes, lo que la fa molt sensible a variacions mostrals. Per una atra part, en variables agrupades en intervals, el seu valor depén excessivament del número d'intervals i de la seua amplitut Usa molt poques observacions, de tal modo que grans variacions en les senyes fòra de la moda, no afecten en modo algun al seu valor. No sempre se situa cap al centre de la distribució. Pot haver més d'una moda en el cas en que dos o més valors de la variable presenten la mateixa freqüència (distribucions bimodales o multimodales).

Vore també

• Freqüència
• Freqüència estadística
• Mija (interval)
• Mijana
• Paràmetro estadístic
• Valor esperat
• Mides de tendència central

Enllaços externs

• Tipos de moda estadística (Unimodal, Bimodal, Multimodal)
• [1] Simulació de la moda d'una variable discreta en R (llenguage de programació)
• Càlcul de la Moda en senyes agrupades usant R
• A Guide to Understanding & Calculating the Mode
• Mode en MathWorld.
• Pixen, Medien and Mode short beginner video from Khan Academy
• Ancilla Dall’Onder Zat; Moda Estatística: Relaçõés Conceituais [2] archivat en Wayback Machine. - www.pucrs.br