Mides de tendència central

La mida de tendència central (moda, mija i mijana), paràmetro d'una tendència central o mida de centralisació és un número ubicat cap al centre de la distribució dels valors d'una série d'observacions (mides), en la que es troba ubicat el conjunt de les senyes. Les mides de tendència central més utilisades són: mija, mijana i moda. Quan es fa referència únicament a la posició d'estos paràmetros dins de la distribució, independentment de que estiga més o menys centrada, es parla d'estes mides com a mides de posició. En este cas s'inclouen també els cuantilés entre estes mides.

Entre les mides de tendència central tenim les següents

• Mija aritmètica
• Mija ponderada
• Mija geomètrica
• Mija harmònica
• Mijana
• Moda

Es deu tindre en conte que existixen variables qualitatives i variables quantitatives, per lo que les mides de posició o mides de tendència s'usen d'acort al tipo de variable que s'està observant; en este cas s'observen variables quantitatives.

La mija aritmètica

Artícul principal → Mija aritmètica.

La mija aritmètica és el valor obtingut per la suma de tots els seus valors dividida entre el número de sumadores.

Per eixemple, les notes de 5 alumnes en una prova:

Chiquet	Nota
1	6.0
2	5.4
3	3.1
4	7.0
5	6.1

• Primer, se sumen les notes:

$6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6$ Després el total es dividix entre la cantitat d'alumnes: $\frac{27.6}{5}=5.52$

La mija aritmètica en este eixemple és 5.52.

La mija aritmètica és, provablement, un dels paràmetros estadístics més estesos. Se li crida també promig o, simplement, mija.

Definició formal

Donat un conjunt numèric de senyes, x₁, x₂, ..., x_n, es definix la seua mija aritmètica com

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Esta definició varia, encara que no substancialment, quan es tracta de variables contínues, açò és, també pot calcular-se per a variables agrupades en intervals.

Propietats

Les principals propietats de la mija aritmètica són:

El seu càlcul és molt senzill i en ell intervenen totes les senyes.

El seu valor és únic per a una série de senyes donada.

S'usa en freqüència per a comparar poblacions, encara que és més apropiat acompanyar-la d'una mida de dispersió.

S'interpreta com «punt d'equilibri» o «centre de masses» del conjunt de senyes, ya que té la propietat d'equilibrar les desviacions de les senyes respecte del seu propi valor:

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\bar{x}=\bar{x}-\bar{x}=0$

Minimisa les desviacions quadràtiques de les senyes respecte de qualsevol valor prefixat, açò és, el valor de $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-k{)}^2$ és mínim quan $k=\bar{x}$. Este resultat es coneix com Teorema de König. Esta propietat permet interpretar un dels paràmetros de dispersió més importants: la varianza.

Es veu afectada per transformacions afins (canvis d'orige i escala), açò és, si

${x_i}^{\prime }=a{x}_i+b$ llavors $\overline{x^{\prime }}=a\bar{x}+b$, a on $\overline{x^{\prime }}$ és la mija aritmètica dels ${x_i}^{\prime }$, per a i = 1, ..., n i a i b número real.

És poc sensible a fluctuacions mostrals, per lo que és un paràmetro molt útil en inferència estadística.

Inconvenients del seu us

Este paràmetro, encara tenint múltiples propietats que aconsellen el seu us en situacions molt diverses, té també alguns inconvenients, com són:

Per a senyes agrupades en intervals (variables contínues) el seu valor oscila en funció de la cantitat i amplitut dels intervals que es consideren.

Archiu:Estatura media.svg

L'estatura mija com a resum d'una població homogénea (avall) o heterogénea (dalt).

És una mida al significat de la qual afecta en gran manera la dispersió, de modo que quant menys homogéneus siguen les senyes, menys informació proporciona. Dit d'un atre modo, poblacions molt distintes en la seua composició poden tindre la mateixa mija. Per eixemple, un equip de bàsquet en cinc jugadors d'igual estatura, 1,95 m, evidentment, tindria una estatura mija d'1,95 m, valor que representa fidelment a esta població homogénea. No obstant, un equip de jugadors d'estatures més heterogénees, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m i 1,70 m, per eixemple, tindria també, com pot comprovar-se, una estatura mija d'1,95 m, valor que no representa a casi cap dels seus components.

En el càlcul de la mija no tots els valors contribuïxen de la mateixa manera. Els valors alts tenen més pes que els valors propencs a zero. Per eixemple, en el càlcul del salari mig d'una empresa, el salari d'un alt directiu que guanye 10 000 € té tant pes com el de dèu empleats «normals» que guanyen 1000 €. En atres paraules, es veu molt afectada per valors extrems.

No es pot determinar si en una distribució de freqüències hi ha intervals de classe oberts.

Mija aritmètica ponderada

A voltes pot ser útil otorgar pesos o valors a les senyes depenent de la seua rellevància per a determinat estudi. En eixos casos es pot utilisar una mija ponderada.

Si $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ són les nostres senyes i $w_1,w_2,\mathrm{...},w_n$ són les seues "pesos" respectius, la mija ponderada es definix de la següent forma:

$\bar{x}=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+\mathrm{...}+x_n{w}_n}{w_1+w_2+\mathrm{...}+w_n}$

Mija mostral

Essencialment, la mija mostral és el mateix paràmetro que l'anterior, encara que l'adjectiu mostral s'aplica a aquelles situacions en les que la mija aritmètica es calcula per a un subconjunt de la població objecte d'estudi.

La mija mostral és un paràmetro d'extrema importància en l'inferència estadística, sent de gran utilitat per a l'estimació de la mija poblacional, entre atres usos.

Moda

Artícul principal → Moda (estadística).

La moda és la senya més repetida de l'enquesta, el valor de la variable en major freqüència absoluta. En cert sentit la definició matemàtica correspon en la locució «estar de moda», açò és, ser lo que més es du.

El seu càlcul en la moda és extremadament senzill, puix solament necessita un reconte. En variables contínues, expressades en intervals, existix el denominat interval modal o, en el seu defecte, si és necessari obtindre un valor concret de la variable, es recorre a l'interpolació. Pot calcular-se també per a atributs, sent en este cas la categoria més freqüent.

Per eixemple, el número de persones en distints vehículs en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que més es repetix és 5, llavors la moda és 5.

Parlarem d'una distribució bimodal de les senyes, quan trobem dos modes, és dir, dos senyes que tinguen la mateixa freqüència absoluta màxima. Quan en una distribució de senyes es troben tres o més modes, llavors és multimodal. Per últim, si totes les variables tenen la mateixa freqüència direm que no hi ha moda.

Quan tractem en senyes agrupades en intervals, abans de calcular la moda, s'ha de definir l'interval modal. L'interval modal és el de major freqüència absoluta.

La moda, quan les senyes estan agrupades, és un punt que dividix l'interval modal en dos parts de la forma p i c-p, sent c l'amplitut de l'interval, que verifiquen que:

$\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1}}{n_i-n_{i+1}}$

Sent $n_i$ la freqüència absoluta de l'interval modal i $n_{i-1}$ i $n_{i+1}$ les freqüències absolutes dels intervals anterior i posterior, respectivament, a l'interval modal.

Les calificacions en l'assignatura de Matemàtiques de 39 alumnes d'una classe ve donada per la següent taula (davall):

Calificacions	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número d'alumnes	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Propietats

Les seues principals propietats són:

Càlcul senzill. Interpretació molt clara. En dependre solament de les freqüències, pot calcular-se para variables qualitatives. És per això el paràmetro més utilisat quan en resumir una població no és possible realisar atres càlculs, per eixemple, quan s'enumeren en mijos periodístics les característiques més freqüents de determinat sector social. Açò es coneix informalmente com «retrate robot».

Inconvenient

El seu valor és independent de la major part de les senyes, lo que la fa molt sensible a variacions mostrals. Per una atra part, en variables agrupades en intervals, el seu valor depén excessivament del número d'intervals i de la seua amplitut. Usa molt poques observacions, de tal modo que grans variacions en les senyes fòra de la moda, no afecten en modo algun al seu valor. No sempre se situa cap al centre de la distribució. Pot haver més d'una moda en el cas en que dos o més valors de la variable presenten la mateixa freqüència (distribucions bimodales o multimodales).

Vore també

• Mija aritmètica
• Mijana (estadística)
• Moda (estadística)
• Paràmetro estadístic.
• Estadística