Equilibri mecànic

El equilibri mecànic és un estat estacionario en el que es complix alguna d'estes dos condicions:

• Un sistema està en total o parcial equilibri mecànic quan la suma de forças i moments sobre cada partícula del sistema és zero.
• Un sistema està en equilibri mecànic si la seua posició en l'espai de configuració és un punt en el que el gradient d'energia potencial és zero (0).

La segona definició és més general i útil, especialment en mecànica de mijos continus.

Definició basada en equilibri de forces

Com a conseqüència de les lleis de la mecànica, una partícula en equilibri no sofrix acceleració llineal ni de rotació, pero pot estar movent-se a velocitat uniforme o rotar a velocitat angular uniforme. Açò és ampliable a un sòlit rígit.

Condició necessària d'equilibri

Les equacions necessàries d'equilibri mecànic són: Una partícula o un sòlit rígit està en equilibri de translació quan: la suma de totes les forças que actuen sobre el cos és zero.

En l'espai es tenen tres equacions de forces, una per dimensió; descomponent cada força en les seues coordenades resulta:

I com un vector és zero quan cada una dels seus components és zero, es té:

1. $\sum _{i=1}^n{F}_{i,x}=0$
2. $\sum _{i=1}^n{F}_{i,y}=0$
3. $\sum _{i=1}^n{F}_{i,z}=0$

Un sòlit rígit està en equilibri de translació quan la suma de les components de les forces que actuen sobre ell és zero.

Un sòlit rígit està en equilibri de rotació, si la suma de moments sobre el cos és zero.

$\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{M}}_i=0$

En l'espai té les tres equacions una per dimensió; per un raonament similar al de les forces:

${\overrightarrow{M}}_i=M_{i,x}{\overrightarrow{u}}_x+M_{i,y}{\overrightarrow{u}}_y+M_{i,z}{\overrightarrow{u}}_z$

Resultant:

1. $\sum _{i=1}^n{M}_{i,x}=0$
2. $\sum _{i=1}^n{M}_{i,y}=0$
3. $\sum _{i=1}^n{M}_{i,z}=0$

Un sòlit rígit està en equilibri de rotació quan la suma de les components dels moments que actuen sobre ell és zero.

Un sòlit rígit està en equilibri si està en equilibri de translació i de rotació.

Es distinguix un tipo particular d'equilibri mecànic cridat equilibri estàtic que correspondria a una situació en que el cos està en repòs, en velocitat zero: un full de paper sobre un escritori estarà en equilibri mecànic i estàtic, un paracaigudiste caent a velocitat constant, donada per la velocitat llímit estaria en equilibri mecànic pero no estàtic.

Condicions suficients

Tal com s'ha expost en la secció anterior, donat un sòlit una condició necessària per a que este sòlit estiga en equilibri mecànic és que la suma de reaccions i el moment resultant d'estes reaccions siga zero. Si el sòlit és indeformable la condició ademés de necessària és suficient, no obstant, per a certs sòlits deformables la condició de que la suma de forces i moments s'anule pugues no ser suficient. En eixe últim cas ademés deuen satisfer-se localment les equacions diferencials d'equilibri:

A on:

${\sigma }_{ij}$ denoten les components del tensor de tensions.

$b_i$ és la força per unitat de volum actuante en cada punt del sòlit.

Les condicions anteriors també són aplicables a un decorregut i per a la majoria de decorreguts admeten les equacions anteriors són equivalents a una forma més simple.

Definició basada en l'energia potencial

La definició anterior, basada en forces, no és fàcilment generalisable als mijos continus, ni proporciona informació sobre un dels aspectes més importants de l'estat d'equilibri: l'estabilitat. Per a este tipo de sistemes lo més cómodo és usar la segona definició, basada en l'energia potencial; per la relació fonamental entre força i energia, abdós són equivalents. Ademés, resulta més natural definir l'equilibri estable. Si la funció d'energia potencial és diferenciable, llavors els punts d'equilibri coincidiran en els punts a on ocórrega un màxim o un mínim locals de l'energia potencial.

Estabilitat de l'equilibri

L'anàlisis de l'estabilitat de l'equilibri pot portar-se a terme estudiant els mínims i màxims locals (extrems locals) de la funció d'energia potencial.

Equilibri metaestable (1), inestable (2) i estable (3)

Un resultat elemental del anàlisis matemàtic diu una condició necessària per a l'existència d'un extrem local d'una funció diferenciable és que totes les derivades primeres s'anulen en algun punt. Per a determinar problemes unidimensionals, comprovar si un punt d'equilibri és estable, inestable o indiferent implica verificar les derivades segones de l'energia potencial:

• Un punt és d'equilibri inestable, si la segona derivada de l'energia potencial < 0 i per tant l'energia potencial té un màxim local. Si el sistema sofrix un desplaçament de la seua posició d'equilibri, per chicotet que este siga, llavors s'alluntarà més i més d'ell (d'ahí el nom inestabilitat per a eixa situació).

• Un punt és d'equilibri indiferent o neutral, si la segona derivada = 0, llavors es troba una regió a on l'energia no varia. Aixina, si el sistema és desplaçat de la posició d'equilibri una cantitat suficientment menuda, possiblement no tornarà a acostar-se a l'equilibri pero tampoc divergirà molt de la posició anterior d'equilibri.

• Un punt és d'equilibri estable si la segona derivada > 0 i per tant l'energia potencial té un mínim local. La resposta del sistema front a menuts destorbament o un alluntament arbitrariamente chicotet del punt d'equilibri és tornar o oscilar al voltant del punt d'equilibri. Si existix més d'un punt d'equilibri estable per a un sistema, llavors es diu que qualsevol d'ells l'energia del qual potencia és major que el mínim absolut representa un estat metaestable.

Per a problemes bidimensionales i tridimensionals (o més generalment n-dimensionals) la discussió anterior de l'estabilitat es fa més complicada i requerix examinar la forma quadràtica Q(x₁,...,x_n) definida per la matriu hessiana de l'energia potencial:

• Equilibri estable, es dona quan la forma quadràtica Q(x₁,...,x_n) és definida positiva i, per tant, tots els seus autovalores són números positius.

• Equilibri totalment inestable, es dona quan la forma quadràtica Q(x₁,...,x_n) és definida negativa, per tant, tots els seus autovalores són negatius.

• Equilibri mixt inestable, es dona quan la forma quadràtica Q(x₁,...,x_n) és no és definida positiva i algun de les seues autovalores és negatiu. Açò implica que segons certes direccions pot haver estabilitat unidimensional pero segons unes atres hi haurà inestabilitat unidimensional

Vore també

• Estàtica
• Dinàmica
• Cinemàtica
• Moment de força respecte a un centre o pol.
• Metaestabilidad
• Principi de d'Alembert
• Ingenieria mecànica
• Ingenieria química

Referències

• Marion & Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company (1995). (en anglés)
• Resnick, R. and D. Halliday (1966) Physics, Part 1, John Wiley & Sons, New York, 646 pp + Appendices. (en anglés)