Principi de d'Alembert

Archiu:Maurice Quentin de La Tour - Portrait de Jean Le Rond d'Alembert.jpg

Retrat de Jean d'Alembert.

El principi de d'Alembert, enunciat per Jean d'Alembert en la seua obra mestra Tractat de la dinàmica de 1743, establix que la suma de les forças externes que actuen sobre un cos i les denominades forces d'inèrcia formen un sistema de forces en equilibri per a un moviment rectilíneo uniformemente accelerat. A este equilibri en acceleració se li denomina equilibri dinàmic.

Enunciat i història

El principi de d'Alembert establix que para totes les forces externes (excloses les de lligam) d'un sistema determinat el seu treball (virtual) o energia serà:

A on la suma s'estén sobre totes les partícules del sistema, sent:

${𝐅}_i$, força aplicada resultant sobre la partícula i-ésima.

${𝐩}_i$, moment llineal o cantitat de moviment de la partícula i-ésima.

$\delta {𝐫}_i$, qualsevol desplaçament virtual (compatible en les lligam) de la partícula i-ésima.

El principi de d'Alembert és realment una generalisació de la segona llei de Newton en una forma aplicable a sistemes en lligam, ya que incorpora el fet de que les forces de lligam no realisen treball en un moviment compatible. Per una atra part el principi equival a les equacions de Euler-Lagrange. Lagrange va usar este principi baix el nom de principi de velocitats generalisades, per a trobar les seues equacions, en la memòria sobre les libraciones de la Lluna de 1764, abandonant des de llavors el principi d'acció i basant tot el seu treball en el principi de D'Alembert durant el restant de la seua vida i de manera especial en la seua Mécanique Analytique. Tal canvi d'actitut va poder estar influït per dos raons:

• En primer lloc, el principi d'acció estacionaria està lligat a l'existència d'una funció potencial, l'existència de la qual no requerix en el principi de d'Alembert.
• En segon lloc, el principi d'acció es presta a interpretacions filosòfiques i teleológicas que no li agradaven a Lagrange.

Finalment deu senyalar-se que el principi de d'Alembert és particularment útil en la mecànica de sòlits, a on pot usar-se per a plantejar les equacions de moviment i càlcul de reaccions usant un camp de desplaçaments virtuals que siga diferenciable. En eixe cas el càlcul per mig del principi de D'Alembert, que també es diu en eixe context principi dels treballs virtuals, és ventajós sobre l'enfocament més simple de la mecànica newtoniana.

Deducció

El principi de D'Alembert formalment pot deduir-se de les lleis de Newton quan les forces que intervenen no depenen de la velocitat. La deducció resulta de fet trivial si es considera un sistema de partícules tal que sobre la partícula i-ésima actua una força externa ${𝐅}_i$ més una força de lligam ${𝐑}_i$ llavors la mecànica newtoniana assegura que la variació de moment llineal ve donada per:

Si el sistema està format per N partícules es tindran N equacions vectorials de la forma ${\dot{𝐩}}_i-{𝐅}_i={𝐑}_i$ si es multiplica cada una d'estes equacions per un desplaçament arbitrari compatible en les restriccions de moviment existents:

A on el segon terme s'anula, precisament per triar-se el sistema de desplaçaments arbitrari de modo compatible, a on matemàticament compatible implica que el segon terme és un producte escalar nul, assumint que la força reactiva pel víncul és de potència (virtual) nula. Finalment sumant les N equacions anteriors se seguix exactament el principi de D'Alembert.