Desplaçament virtual

Donada una partícula es té la seua trayectòria

x (t)

i la seua trayectòria virtual

x^{'} (t)

. En la posició

x_{1}

, i temps

t_{1}

, el desplaçament virtual és

δ x

。 Els punts inicial i final per a abdós trayectòries són

x_{0}

i

x_{2}

respectivament.

Un desplaçament virtual $δ 𝐫_{i}$ "és un canvi infinitesimal del sistema de coordenades que ocorre mentres el temps es manté fix. És cridat virtual en lloc de real ya que cap desplaçament real pot ocórrer sense que el temps alvance."^[1]

Introducció

A diferència del desplaçament regular que té lloc quan es deriva sobre el paràmetro temporal $t$ a lo llarc de la trayectòria de moviment (de manera que el vector apunta en la direcció de moviment), el desplaçament virtual s'origina en derivar sobre el paràmetro $ϵ$ el qual enumera diferents trayectòries de moviment que varien d'una manera consistent en les lligam del sistema. El símbol $δ$ és usat tradicionalment per a denotar la derivada corresponent $\frac{\partial}{\partial ϵ} |_{ϵ = 0}$ .

La derivada total del vector posició de la partícula i-ésima d'un sistema de partícules, $𝐫_{i}$ , que és funció de certes variables, ${q_{1}, q_{2}, ..., q_{m}}$ , i el temps, $t$ pot ser expressada com:

d 𝐫_{i} = \frac{\partial 𝐫_{i}}{\partial t} d t + \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial 𝐫_{i}}{\partial q_{j}} d q_{j}

Si, en canvi, volem el desplaçament virtual (Desplaçament virtual diferencial), llavors

δ 𝐫_{i} = \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial 𝐫_{i}}{\partial q_{j}} δ q_{j}

Esta equació és usada en la mecànica lagrangiana per a relacionar les coordenades generalisades, $q_{j}$ , el treball virtual, $δ W$ , i les forces generalisades, $Q_{j}$ .

En la mecànica analítica el concepte de desplaçament virtual, relacionat en el concepte de treball virtual, solament és significatiu quan s'analisa un sistema físic subjecte a lligam que restringixen el seu moviment. Un cas especial de desplaçament infinitesimal (normalment denotat $d 𝐫$ ), és dir, un desplaçament virtual (denotat $δ 𝐫$ ) es referix a un canvi infinitesimal en les coordenades de posició d'un sistema de manera que les lligam se satisfan.

Formulació rigorosa

En mecànica de mijos continus i en relativitat general, a on s'usa explícitament el formalisme de la geometria diferencial i a on l'espai no és necesariamiente euclídeo, el formalisme dels desplaçaments virtuals és usable, només que en eixe cas no es corresponen en desplaçaments físics sobre l'espai, sino que un camp de desplaçaments virtuals és un camp vectorial definit sobre el fibrado tangente. Este formalisme en principi, també és aplicable al cas newtoniano/euclídeo, eliminant l'us conceptual de la noció tradicional de desplaçament infintesimal.

Referències

↑ Goldstein, Herbert (1980). «Energy Methods», Classical Mechanics, United States of America: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-02969-3.

Este artícul conté una traducció derivada de «Desplazamiento virtual» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Goldstein1980-1] Goldstein, Herbert (1980). «Energy Methods», Classical Mechanics, United States of America: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-02969-3.

[1]