Mecànica analítica

La mecànica analítica és una formulació abstracta i general de la mecànica que permet l'us en igualtat de condicions de sistemes inerciales o no inerciales sense que, a diferència de les lleis de Newton, la forma bàsica de les equacions de moviment canvie. Alguns autors identifiquen la mecànica analítica en la teòrica. Uns atres consideren que la traça determinant és considerar l'exposició i plantejament de la mateixa en térmens de coordenades generalisades.

Lo característic de la formulació de la mecànica analítica és que, a diferència de la mecànica newtoniana, es prenen com a fonament primer principis generals diferencials i integrals, i que a partir d'estos principis s'obtinguen analíticamente les equacions de moviment. L'exposició dels principis generals, la deducció a partir d'ells de les equacions diferencials de moviment i els métodos d'integració d'estes, constituïx el contingut principal de la mecànica analítica.

La mecànica analítica té, bàsicament dos formulació: la formulació lagrangiana i la formulació hamiltoniana. Les dos descriuen el mateix fenomen natural, independentment d'aspectes formals i metodològics, i apleguen a les mateixes conclusions. La formulació lagrangiana està més orientada a una utilitat pràctica i la hamiltoniana és idònea per a una formulació teòrica.

Supòsits bàsics

La mecànica analítica seguix els tres supòsits bàsics de la mecànica clàssica, és dir:

• el Principi d'Hamilton o principi de mínima acció. Podem prendre-ho com a principi fonamental de tota la dinàmica dels sistemes holónomos.
• l'existència d'un temps i espai absoluts, les mides dels quals són iguals per a qualsevol observador en independència del seu grau de moviment.
• el determinisme científic, que ve a dir que l'estat d'un sistema mecànic queda completament determinat si es coneix el conjunt de cantitats de moviments i posicions que ho constituïxen, sent estes simultàneament mesurables.^{cita requerida}

És interessant notar que en mecànica relativista el segon supost és inacceptable, encara que sí és acceptable el primer i, en algunes diferències, el tercer. Per un atre costat, en mecànica quàntica el que no és acceptable és el tercer (de fet, en la mecànica quàntica relativista no són acceptables el segon ni el tercer).^{cita requerida}

Encara que la mecànica clàssica i en particular la mecànica newtoniana és adequada per a descriure l'experiència diària (en events que succeïxen a velocitats moltíssim menors que la velocitat de la llum i a escala macroscòpica), per l'acceptació de supòsits tan restrictius com estos tres, no pot descriure adequadament fenomens electromagnètics en partícules en ràpit moviment ni tampoc fenomens físics microscòpics que succeïxen a escala atòmica.^{cita requerida}

Tipos de formulació

La majoria de manuals generals sobre mecànica analítica poden agrupar-se en dos tipos d'enfocaments:

• Enfocament analític que, en cert modo, és hereu de la mecànica analítica de Joseph-Louis de Lagrange, de 1788, i l'igualment elegant formulació de William Rowan Hamilton, de 1833. Estes dos formulació en última instància es basen en el principi diferencial introduït per D'Alembert en 1743. En este enfocament es presenten en detalle aplicacions astronòmiques i les lleis bàsiques de la física. En este enfocament la força casi sempre és una força conservativa i moltes voltes també central. Per eixa última raó, els principis conservativos estan generalment molt emfatisats en este enfocament.

• Enfocament general dels sistemes dinàmics general és l'enfocament més recent sorgit dels treballs d'Henri Poincaré i Aleksandr Liapunov, en l'última década de el XIX, i del llibre Dynamical Systems (1927), de G. D. Birhoff. En els manuals més senzills, este enfocament està poc representat, encara que és molt comú en els treballs d'investigació. Este enfocament està actualment molt relacionat en la teoria del caos i en propietats complexes dels sistemes mecànics més complicats.