Mecànica quàntica relativista

Mecànica quàntica relativista

La mecànica quàntica relativista és una generalisació de la mecànica quàntica necessària per a entendre el comportament de les partícules que alcancen velocitats propenques a la de la llum, règim en el qual l'equació de Schrödinger deixa de ser efectiva.

Emergència de la mecànica quàntica relativista

l'equació de Schrödinger per a la partícula lliure posseïx la forma:

A on l'operador momentum i l'energia estan definits per:

$𝐩=i\hslash \mathrm{\nabla }$ i

$E=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

Ya que són els generadors dels grups d'isometría de translació espacial i temporal respectivament.

El primer problema en esta equació és que és llineal en la derivada temporal, mentres que quadràtica en la derivada espacial, lo que clarament viola l'invarianza de Lorentz (que establix primordialmente que les coordenades espacials i temporals són intercanviables). Seguint la recepta establida per Schrödinger, s'introduïx el hamiltoniano relativiste d'una partícula, donat per:

I s'aplica el procés de cuantización canònica per a obtindre una equació per a una partícula relativista:

Prenent unitats naturals $c=\hslash =1$ i adoptant notació covariant μ=(0,1,2,3), podem escriure l'expressió anterior com:

coneguda com l'equació de Klein-Gordon.

No obstant al poc anar és simple vore que l'equació de Klein Gordon, a pesar de posseir solucions que complixen en la relació de dispersió d'una partícula relativista, presenta problemes sérios en l'interpretació provabilística de la funció d'ona $\psi$. Per a vore-ho, considerem la corrent de provabilitat associada a l'equació de Klein-Gordon:

Integrant l'equació de continuïtat ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$, veem que la component zero de la cuadri-corrent $J^0={\psi }^{*}{\partial }_t\psi -\psi {\partial }_t{\psi }^{*}$ és conservada. Per a la solució d'ona plana més simple, $\psi (x,t)=A{e}^{i(Et-\mathbf{\text{𝐩}}\cdot \mathbf{\text{𝐱}})}$, la densitat $J^0=2E|A{|}^2$ pot ser negativa, ya que $E=\pm \sqrt{{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}+m^2}$. Açò mostra que l'interpretació com a densitat de provabilitat (sempre positiva) de $J^0$ ya no té sentit.

En un intent per remediar este problema, Paul Adrien Maurice Dirac va descobrir en 1928 l'equació de Dirac, genuinamente covariant relativista i que va introduir de manera natural l'espin de l'electró i les antipartículas (en particular el positrón).

Emergència de la teoria quàntica de camps

AP No obstant, l'enfocament anterior de desenrollar equacions d'ona covariants no resol totes les dificultats. En particular l'enfocament d'equacions d'ona només és aplicable a "partícules lliures" (situació anomenada de "camps lliures") que no interactuen fortament entre elles.

L'anàlisis del problema relativiste implica que en un sistema de partícules en interacció el número de partícules no necessàriament té que ser constant, la qual cosa elimina qualsevol possibilitat d'interpretar construir funcions d'ona que representen provabilitats de presència de la partícula en el cas general. De fet, és conegut que experimentalment un fotó d'alta energia pot "crear ex-nihilo" un parell electró-positrón per lo que no és possible construir funcions d'ona per a cada tipo de partícula, i és necessari reformular la teoria en la forma d'una teoria quàntica de camps.

Per eixa raó en mecànica quàntica relativista l'estat quàntic no es referix a partícules pròpiament, sino al espai-temps. Aixina en moltes teories quàntiques relativistes existix un estat (a voltes un conjunt d'estats) d'energia mínima $|\Omega ⟩$ que representa el "buit". Aixina un estat d'un número de partícules pot evolucionar de tal manera que l'estat tendix asintóticamente a ser un estat en el qual el número de partícules no coincidix en l'inicial.

Referències

Bibliografia

• Penrose, Roger. El camí a la realitat, 1.ª edició (Mondadori, 2006)
• Dirac, P.A.M., Principles of Quàntum Mechanics, 4.ª edició (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quàntum Mechanics, 2.ª edició (Plenum, 1994)
• Lawden, F., The Mathematical Principles of Quàntum Mechanics, Dover edition (2005)