Relació de dispersió

La refracció de la llum en un prisma es deu a la dispersió.

En física i ingenieria elèctrica, les relacions de dispersió descriuen l'efecte que té la dispersió d'un mig sobre les propietats d'una ona que viaja dins d'eixe mig. La relació de dispersió relaciona la llongitut d'ona o el número d'una ona en la seua freqüència. A partir d'esta relació, es poden obtindre expressions convenients per a la velocitat de fase i la velocitat de grup, de les que es determina aixina l'índex de refracció del mig. Les relacions de Kramers-Kronig són més generals que les relacions de dispersió que depenen de la geometria o del material, i descriuen la dependència en freqüència de la propagació d'ones i de l'atenuació.

La dispersió pot deure's tant a les condicions de frontera impostes per la geometria (en una guia d'ona o en aigües someras) com a l'interacció de les ones en el mig transmissor. Les partícules elementals, que són considerades ones de matèria, tenen relacions de dispersió que no són trivials, encara en absència de restriccions geomètriques o d'atres mijos.

Quan existix dispersió, la velocitat de les ones ya no està definida de manera única, lo que dona lloc a la distinció entre la velocitat de fase i la velocitat de grup.

Dispersió

Artícul principal → Dispersió (física).

La dispersió ocorre quan ones purament planes de diferents llongituts d'ona tenen diferents velocitats de propagació. D'esta manera, un paquet d'ones de llongituts d'ona mixtes tendix a escampar-se en l'espai. La velocitat v de l'ona plana és una funció de la llongitut d'ona λ:

$v=v(\lambda ).$

La velocitat de l'ona, la seua llongitut d'ona i la seua freqüència f estan relacionades per l'identitat

$v(\lambda )=\lambda f(\lambda ).$

La funció f(λ) expressa la relació de dispersió del mig dau. Les relacions de dispersió s'expressen més comunament en térmens de la freqüència angular, ω = 2πf, i el número k = 2π /λ. En reescriure la relació anterior en térmens de dites variables s'obté

$\omega (k)=v(k)k.$

a on ara veem f com una funció de k. L'us de ω(k) per a descriure la relació de dispersió s'ha tornat estàndar ya que tant la velocitat de fase ω/k com la velocitat de grup dω/dk tenen representacions convenients a través d'esta funció.

Les ones planes que es consideren ací poden descriure's a través de

$A(x,t)=A_0{e}^{2\pi i\frac{x-vt}{\lambda }}=A_0{e}^{i(kx-\omega t)},$

a on

A és l'amplitut de l'ona,

A₀ = A(0,0),

x és la posició a lo llarc de la direcció de propagació de l'ona, i

t és el temps en el que l'ona és descrita.

Ones planes en el buit

Les ones planes en el buit són el cas més simple de propagació d'ones. En este cas no hi ha restriccions geomètriques i no hi ha interacció en un mig transmissor.

Ones electromagnètiques

Per a una ona electromagnètica en el buit, la freqüència angular és proporcional al número:

$\omega =ck.$

Esta és una relació de dispersió llineal. En este cas, la velocitat de fase i la velocitat de grup són iguals:

$v=\frac{\omega }{k}=\frac{d\omega }{dk}=c,$

a on c, és la velocitat de la llum en el buit, que és una constant que no depén de la freqüència.

Relacions de dispersió de De Broglie

Archiu:KEvsM caps block 1 .png

Dispersió en l'espai lliure de l'energia cinètica en funció del moment llineal, per a diversos objectes quotidians.

l'energia total, I, el moment, p i la massa, m, d'una partícula estan conectades a través de la relació relativista

$E^2=(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$  

en a on el llímit ultrarrelativista és

$E=pc$

i el llímit no relativiste és

$E=m{c}^2+\frac{p^2}{2m}$

a on m és la massa en repòs. En el llímit no relativiste, mc² és una constant i p²/2m és l'energia cinètica expressada en térmens del moment p = mv.

La transició des del comportament ultrarrelativista fins al no relativiste mostra un canvi en la pendent des de p fins a p², com es mostra en la figura.

Les partícules elementals com els núcleus atòmics, àtoms i inclús les molèculas es comporten en alguns contexts com a ones de matèria. D'acort en les relacions de De Broglie, la seua energia cinètica I pot expressar-se com una freqüència, i el seu moment p com un número k, usant la constant de Planck reduïda, ħ:

$E=\hslash \omega ,p=\hslash k.$

D'acort en açò, la freqüència angular i l'número estan conectats a través de la relació de dispersió, que en el llímit no relativiste és

$\omega =\frac{\hslash k^2}{2m}.$

Animació: velocitat de fase i de grup d'electronés

Esta animació mostra les velocitats de fase i de grup de De Broglie (en baixa velocitat) de tres electrons lliures que viagen en un camp de 0,4 Å d'ample. El moment per unitat de massa (velocitat pròpia) de l'electró central és la velocitat de la llum, per lo que la velocitat de grup és 0,707 c. L'electró superior té el doble de moment, mentres que l'inferior té la mitat. Note's que conforme el moment aumenta, la velocitat de fase decreix fins a c, mentres que la velocitat de grup aumenta fins a c, fins que el paquet d'ones i els seus màxims en fase es mouen junts casi a la velocitat de la llum, mentres que la llongitut d'ona continua disminuint sense llímit. L'ample de coherència travessera, aixina com el llongitudinal (el tamany del paquet) d'electrons en eixa energia tan alta pot ser varis órdens de magnitut major que el que es mostra ací.