Relacions de Kramers-Kronig

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició per a que s'apliquen a una funció $f(\omega )$ és que esta deu representar la transformada de Fourier d'un procés físic llineal i causal. Si escrivim

$f(\omega )=f_1(\omega )+i{f}_2(\omega )$,

en $f_1$ i $f_2$ dos funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són

$f_1(\omega )=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\Omega f_2(\Omega )}{{\omega }^2-{\Omega }^2}d\Omega$

$f_2(\omega )=-\frac{2\omega }{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f_1(\Omega )}{{\omega }^2-{\Omega }^2}d\Omega$.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades en la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitividad $ϵ(\omega )$ dels materials. No obstant, en este cas, cal tindre en conte que:

$f(\omega )=\chi (\omega )=ϵ(\omega )/{ϵ}_0-1$,

en $\chi (\omega )$ la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar-se com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és dir, la seua resposta a l'impuls.