Teoria quàntica de camps

Archiu:Schwinger pair production.svg

Teoria quàntica de camps

La teoria quàntica de camps és una disciplina de la física que aplica els principis de la mecànica quàntica als sistemes clàssics de camps continus, per eixemple, el camp electromagnètic. Una conseqüència immediata d'esta teoria és que el comportament quàntic d'un camp continu és equivalent al d'un sistema de partícules el número del qual no és constant, és dir, que poden crear-se o destruir-se. També li la denomina teoria de camps quàntics, TCC o QFT, sigla en anglés de quàntum field theory.

La seua principal aplicació és la física d'altes energies, a on es combina en els postulats de la relativitat especial. En este règim s'usa per a estudiar les partícules subatòmiques i les seues interaccions, i permet explicar fenomens com la relació entre espin i estadística, la simetria CPT, l'existència d'antimatèria, etc.

També és una ferramenta habitual en el camp de la física de la matèria condensada, a on s'utilisa per a descriure les excitació colectives de sistemes de moltes partícules i entendre efectes físics tals com la superconductividad, la superfluidez o l'efecte Hall quàntic.

En particular, la teoria quàntica del camp electromagnètic, coneguda com electrodinàmica quàntica, va anar el primer eixemple de teoria quàntica de camps que es va estudiar i és la teoria física provada experimentalment en major precisió. Els fonaments de la teoria de camps quàntica varen ser desenrollats entre les décades de 1920 i 1950 per Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman i Dyson, entre uns atres.

Història

Artícul principal → Història de la teoria quàntica de camps.

El desenroll de la teoria quàntica de camps va ocórrer simultàneament en el de la mecànica quàntica «ordinària», en un intent d'explicar els fenomens atòmics prenent també en conte les lleis de la teoria de la relativitat. Entre 1926 i 1928 es varen desenrollar els primers intents de trobar una equació d'ona relativista que descriguera el moviment d'una partícula quàntica, deguts a Erwin Schrödinger i a Paul Dirac. No obstant, dites equacions mostraven certes inconsistencias.

Per un atre costat, en 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan i Max Born varen profundisar en l'estudi del problema del cos negre: el comportament de la radiació electromagnètica dins d'una cavitat, en absència de partícules carregades. Açò va constituir el primer eixemple d'una teoria quàntica de camps, en este cas aplicant les regles de cuantización al camp electromagnètic. En els seus resultats, la radiació es comportava com un conjunt de partícules —els fotons—, en consonancia con l'hipòtesis dels quants de llum, formulada per Einstein en 1905. Despuix d'este eixemple, les mencionades equacions d'ona relativistes es varen estudiar de nou des d'un atre punt de vista. En lloc d'interpretar-les com funciones d'ona, es varen usar les regles de cuantización d'un camp clàssic per a manipular-les. D'esta manera es varen obtindre equacions per a partícules quàntiques respectant les lleis de la relativitat que sí eren consistents. Esta reinterpretación, coneguda com segona cuantización, va ser portada a terme per Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer i Victor Weisskopf.

A pesar dels seus èxits inicials, la teoria quàntica de camps tenia problemes teòrics molt sérios. El càlcul de moltes cantitats físiques en apariència ordinàries resultava en un valor infinit, un resultat sense sentit. Un eixemple d'açò eren les chicotetes diferències entre alguns nivelles d'energia en l'àtom d'hidrogen, la cridada estructura fina. Este «problema de les divergències» va ser resolt durant les décades de 1930 i 1940 per Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman i Shin'ichiro Tomonaga entre uns atres, per mig d'una tècnica coneguda com renormalización. Esta etapa va culminar en el desenroll de la moderna electrodinàmica quàntica —QED, per Quàntum Electrodynamics—. La tècnica dels diagrames de Feynman, un procediment gràfic de càlcul desenrollat per Richard Feynman, es va convertir en una de les ferramentes bàsiques de la teoria quàntica de camps.

En la década de 1950 QED va ser generalisada a una classe més general de teories conegudes com teories gauge, començant en el treball de Chen Ning Yang i Robert Mills. A finals de la década de 1960, Sheldon Glashow, Abdus Salam i Steven Weinberg varen unificar les interaccions electromagnètica i dèbil en la teoria electrodébil —una teoria gauge— per mig del concepte de ruptura espontànea de simetria, introduït originàriament per a explicar la superconductividad.

No obstant, no va ser fins a la década de 1970 que va quedar establit el model estàndar de la física de partícules. El model d'unificació electrodébil no va rebre especial atenció fins que, en 1971, Gerardus 't Hooft i Martinus Veltman varen demostrar que les teories en simetria trencades espontàneament podien ser renormalizadas. Per un atre costat, l'intensitat de les interaccions fortes entre hadrones va ser un desafiu per als teòrics de camps fins al desenroll del concepte de la llibertat asintòtica per Frank Wilczek, David Gross i Hugh David Politzer en 1973.

També durant la década de 1970, la teoria quàntica de camps «va trencar els grilletes dels diagrames de Feynman», en descobrir-se que les solucions no perturbativas de les equacions dels camps clàssics juguen un paper crucial a nivell quàntic. Ademés, l'actitut cap a la tècnica de la renormalización i cap a la teoria quàntica de camps en general va ser canviant progressivament, gràcies als alvanços de —entre uns atres— Kenneth Wilson en física de la matèria condensada. L'aparició dels infinits va passar de ser considerada una «patologia» a «simplement un recordatori d'una llimitació pràctica: no coneixem qué ocorre a distàncies molt més chicotetes que aquelles que podem observar directament».

Principis bàsics

Motivacions i definició

Llimitacions en la mecànica quàntica

En mecànica quàntica «ordinària», un conjunt de partícules es descriu per mig d'una funció d'ona Ψ(r₁, ..., r_n), que arreplega la provabilitat de trobar a cada una d'estes en un punt donat. Ademés, l'evolució en el temps d'esta funció d'ona està dictada per l'equació de Schrödinger:

No obstant, este esquema no descriu adequadament alguns aspectes que es troben en alguns sistemes físics:

Creació i destrucció

Durant l'evolució d'este sistema, el número de partícules es manté finito i invariable —a saber, n—. No obstant, en experiments d'altes energies és corrent que el número de partícules varie —per eixemple en la desintegració d'un neutró, o l'aniquilació d'un electró i un positrón en fotons—, com a conseqüència de la famosa relació massa-energia de la relativitat. Ademés, en el context de física de l'estat sòlit, les excitació d'un colectiu d'àtoms es reinterpreten com cuasipartículas, com el fonón, el número del qual és també variable.

Invariancia relativista

Esta equació no reflectix les propietats de la cinemàtica relativista. El seu llímit clàssic descriu el moviment d'una partícula baixe les lleis de la mecànica galileana, en lloc de la mecànica relativista: el primer terme de la dreta en (1) es correspon en l'energia cinètica no relativista p²/2m, en lloc de l'expressió relativista (p² + m²)^1/2, a on p és el moment de la partícula.

Camp clàssic

Les interaccions entre les n partícules del sistema tenen lloc per mig de forces a distància, donades pel potencial V. No obstant, en la física clàssica existixen sistemes més generals, que no poden entendre's per mig d'este esquema. És per eixemple el cas d'un conjunt de càrregues elèctriques en moviment: per a descriure la seua evolució és necessari tindre en conte de forma independent tant les partícules carregades com el camp electromagnètic que generen.

És possible modificar l'equació de Schrödinger per a obtindre una versió consistent en els principis de la relativitat especial, com l'equació de Klein-Gordon o l'equació de Dirac. No obstant, estes tenen moltes propietats insatisfactòries: per eixemple, prediuen l'existència de partícules en energia negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable. Estos defectes són deguts a que dites equacions tampoc contemplen la possibilitat de que les partícules puguen crear-se o destruir-se i, com es menciona en el primer epígraf, és inconsistente supondre una teoria relativista en un número constant de partícules en interacció.

Definició

Una teoria quàntica de camps és el resultat d'aplicar les regles de cuantización al sistema d'una teoria clàssica de camps. Açò permet estudiar els aspectes quàntics dels camps continus, com el camp electromagnètic. Ademés, la cuantización d'un camp presenta aspectes singulars: les regles de cuantización aplicades a un camp continu revelen que els seus possibles estats es corresponen en els de un colectiu de partícules idèntiques que poden crear-se i destruir-se. Per últim, en el cas particular de que l'equació del camp clàssic respecte la teoria de la relativitat, el sistema quàntic obtingut hereta esta propietat. D'esta manera, la cuantización d'un camp clàssic servix per a cobrir els diversos aspectes que una teoria quàntica «ordinària» no descriu correctament.

Segona cuantización

Artícul principal → Segona cuantización.

El procés d'aplicar les regles de cuantización a un camp i identificar els seus possibles estats quàntics en els de un colectiu de partícules es denomina segona cuantización.

Llímit continu

Vore també: Mecànica de mijos continus

En mecànica clàssica, un camp continu és equivalent a un conjunt de múltiples osciladorés acoplats entre sí. L'eixemple habitual per a entendre esta equivalència és un sòlit elàstic. Este sistema pot descriure's macroscópicamente per mig de, per eixemple, la densitat o la tensió en cada punt del mateix; cantitats que es representen per mig de camps continus. Per un atre costat, també és possible descriure el sòlit com una ret de partícules que eixercixen forces elàstiques entre sí —com si estigueren unides per molls imaginaris—, lo que conforma un sistema d'osciladors acoplats. La primera descripció —el camp i les seues equacions— és una aproximació de la segona —els osciladors— quan es considera la separació mija entre partícules molt menuda, o dit d'un atre modo, en el llímit continu.

Esta equivalència també es reflectix en l'evolució en el temps d'estos sistemes. Vist com un conjunt d'osciladors acoplats, les vibracions (clàssiques) dels àtoms en el sòlit són una superposició de les seues modos normals: les seues vibracions colectives elementals, o harmònics. Vist com un continu de matèria, les ones de —per eixemple— la densitat del sòlit són una superposició d'ones planes, les ones més simples. Cada modo normal o harmònic del conjunt d'osciladors es correspon en una certa ona plana del camp en el llímit continu.

Osciladors acoplats	$\stackrel{}{\to }$ Llímit continu	Camp continu
Dinàmica en térmens de:		Dinàmica en térmens de:
Modos normals	$\stackrel{}{\to }$ Llímit continu	Ones planes

Existixen camps clàssics que no es corresponen en el llímit clàssic de cap sistema mecànic, com per eixemple el camp electromagnètic. No obstant, l'analogia matemàtica de les seues equacions en les d'un sistema d'osciladors abstractes seguix sent vàlida.

Osciladors quàntics

Vore també: Oscilador harmònic quàntic

L'energia en un oscilador harmònic quàntic està cuantizada, de modo que només pot ser un múltiple del seu freqüència ω:

$E(\text{oscilador})=\hslash \omega N,$

a on ℏ és la constant reduïda de Planck i N = 0, 1, 2, ... és un número entero no negatiu. En un sistema d'osciladors quàntics acoplats l'energia també és discreta, i és la suma de l'energia de cada modo normal, vist com un oscilador independent:

(2) $E(\text{osciladores})=\hslash {\omega }_{\text{modo 1}}{N}_{\text{modo 1}}+\hslash {\omega }_{\text{modo 2}}{N}_{\text{modo 2}}+\hslash {\omega }_{\text{modo 3}}{N}_{\text{modo 3}}+\dots ,$

a on cada ω_{modo i} és la freqüència d'un modo normal i cada N_{modo i} = 0, 1, 2, ... el nivell d'excitació de dit modo.

No obstant, estos valors són molt semblats als d'un sistema de múltiples partícules repartides per diversos nivells d'energia I₁, I₂, etc. En este cas:

$E(\text{partículas})=E_{\text{nivel 1}}{N}_{\text{partículas en 1}}+E_{\text{nivel 2}}{N}_{\text{partículas en 2}}+E_{\text{nivel 3}}{N}_{\text{partículas en 3}}+\dots$

Estes dos expressions per a l'energia són equivalents, quan s'identifica cada nivell d'energia en un modo normal i la seua freqüència, ℏω_modo i = I_{nivell i}; i la cantitat de partícules en un cert nivell en el nivell d'excitació del corresponent modo normal, N_nivell i = N_modo i. Per eixemple, si N_modo 5 = 2, l'oscilador corresponent al modo 5 està en el seu 2.º nivell d'excitació, i té la mateixa energia que un sistema de dos partícules, cada una d'elles en energia I_nivell 5 = ℏω_modo 5. Esta igualtat no es llimita a una coincidència en el valor de l'energia: el comportament d'abdós sistemes és molt paregut. Per lo tant les propietats físiques d'un conjunt d'osciladors quàntics acoplats són iguals a les d'un sistema de partícules quàntiques de número variable.

Camp quàntic

Un camp quàntic pot entendre's com el llímit continu d'un conjunt d'osciladors quàntics acoplats. L'energia d'estos està donada per l'equació (2), per lo que l'energia del camp té una forma anàloga, fent referència a les ones planes del camp en lloc dels modos normals. Per lo tant, un camp quàntic constituïx un sistema equivalent al d'un conjunt de partícules de número variable.

Osciladors acoplats	$\stackrel{}{\to }$ Llímit continu	Camp continu
${\displaystyle }$ es cuantiza en $\downarrow$		es cuantiza en $\downarrow$
Osc. quàntics acoplats	$\stackrel{}{\to }$ Llímit continu	Camp quàntic

Dinàmica del camp quàntic

Camp quàntic lliure

Vore també: Espai de Fock

L'analogia entre osciladors i camp de la segona cuantización s'aplica directament en el procés de cuantización d'un camp lliure, aquell les equacions del qual de camp són llineals. L'equivalència en un sistema d'osciladors harmònics acoplats és exacta, i l'energia del camp ve donada per l'equació (2): és la suma de l'energia de cada partícula individual. ya que no hi ha contribucions adicionals, les partícules són lliures i no interaccionen entre sí, d'ahí el nom de camp lliure. Com a conseqüència de l'absència d'interacció, el número de dites partícules permaneix constant.

L'estat d'un camp quàntic es descriu de manera habitual utilisant números d'ocupació: el número de partícules en cada nivell d'energia possible. Per eixemple: una partícula en el ORD nivell, zero en el 2.º, dos en el 3.º, etc. A l'estat sense cap partícula, en el que tots els nivells d'energia estan desocupados, se li denomina el buit.

Un aspecte important d'estes partícules és que són indistinguibles. Per eixemple, si l'estat del sistema consistix en una partícula en el ORD nivell d'energia i una atra en el 2.º, intercanviar-les entre sí no dona lloc a un estat distint: se seguix tenint una partícula en el nivell 1 i una atra en el 2. Ademés, l'analogia entre osciladors i camp comporta que el número d'ocupació d'un cert nivell d'energia pot ser arbitrariamente alt, en particular major que 1. Açò significa que les partícules que sorgixen de la cuantización del camp són bosones. La cuantización d'un camp lliure per a obtindre fermiones (o atres tipos de camps més complicats) requerix certes modificacions en el método de segona cuantización, pero el procés i els resultats bàsics són els mateixos.

Fermiones

Existixen multitut de partícules anomenades fermiones —com l'electró i el protón— que respecten el principi d'exclusió de Pauli, de modo que els seus números d'ocupació solament poden valdre 0 o 1. El formalisme de segona cuantización basat en l'analogia bàsica entre osciladors i camp no impon este llímit i no és capaç de descriure un conjunt de fermiones.

L'orige de l'estadística bosónica de les excitació del camp pot rastrejar-se fins a les regles de cuantización utilisades per a est. Existixen unes lleis de conmutación canòniques pròpies de tot sistema quàntic, que especifiquen el comportament de l'operador camp i el seu moment conjugat π (r). Estes impliquen que els seus estats quàntics són simètrics i corresponen a bosones. ya que els estats de múltiples fermiones deurien ser antisimètrics, per a obtindre un sistema de fermiones cuantizando un camp ψ, s'imponen regles en el signe incorrecte, és dir, de anti-conmutación. L'elecció d'este signe —i en ell, l'estadística de les partícules resultants— no és arbitrària, sino que existix una relació entre l'espin i l'estadística.

Espin i estadística

Vore també: Teorema espin-estadística

La teoria de camps concreta que és cuantizada determina les propietats de les partícules que apareixen com els seus modos normals. En particular, el tipo de camp determina l'espin de les mateixes. Alguns eixemples són:

• Un camp escalar que obedix l'equació de Klein-Gordon resulta en una teoria de bosones d'espin 0, com a certs posades.
• Un camp espinorial que obedix l'equació de Dirac resulta en una teoria de fermiones d'espin 1/2, com els electrons o els protones.
• Les equacions del camp electromagnètic —un camp vectorial— produïxen una teoria de bosones d'espin 1, els fotons.

Estes teories de camps són relativistes: les seues equacions corresponents respecten la simetria Lorentz. Les partícules que apareixen en la versió quàntica de dites teories també ho són: es rigen per la cinemàtica relativista. D'esta manera, una teoria quàntica de camps és capaç de descriure la dinàmica de partícules quàntiques d'acort en la relativitat especial. Una teoria quàntica de camps també pot ser no relativiste: és el cas per eixemple de l'equació del camp sonor, que resulta en la teoria dels fonones.

Estos eixemples respecten la relació empírica que existix entre l'espin i l'estadística de les partícules: l'espin d'un bosón —fermión— pren sempre valors sancers —semienteros—. Si s'intenta la cuantización d'un camp triant l'estadística contrària —per eixemple cuantizando el camp escalar en regles de anticonmutación, intentant obtindre fermiones; o viceversa per al camp espinorial— s'obtenen resultats físicament inconsistentes. Pot provar-se que açò és general: en teoria quàntica de camps esta relació entre espin i estadística es demostra com a conseqüència directa de l'unió entre mecànica quàntica i relativitat especial, la cridada teorema espin-estadística.

Algunes d'estes teories de camps varen ser investigades inicialment com a equacions de Schrödinger relativistes per a un cos, sense èxit. Açò va motivar el nom de segona cuantización: els camps als que s'aplicaven les regles de cuantización eren funcions d'ona, obtingudes a la seua volta d'aplicar eixes regles a una partícula puntual.

Camp quàntic en interacció

Si la teoria de camps que es cuantiza és no llineal, les partícules que s'obtenen interaccionen entre sí. En estes teories les equacions del camp són no llineals, involucrant productes de camps. D'un atre modo, l'energia del sistema, representada per l'operador hamiltoniano, presenta un terme d'interacció —similar a un potencial V— no quadràtic: involucra productes de tres o més camps. La gran majoria de les teories en interés per a la física inclouen térmens d'interacció. L'expressió següent per a H_int (el potencial o hamiltoniano d'interacció) proporciona diversos eixemples:

• l'interacció de Yukawa descriu les forces entre nucleones —neutrons i protones, camp Ψ— mediades per posades (piones de fet, camp φ). El terme d'interacció és proporcional a φΨΨ.
• El camp de Higgs mija entre totes les partícules elementals massives del model estàndar. Ve representat per Φ i un bosón d'espin 0 associat. Els propis bosones de Higgs interaccionen entre sí, en un terme donat per Φ⁴.

• L'electrodinàmica quàntica és la teoria quàntica que descriu l'interacció entre radiació —fotons, camp A_μ— i fermiones carregats —com a electrons o quarks, descrits per un camp espinorial ψ—. El terme d'interacció és de la forma Aψψ.

Acompanyant a cada producte de camps, hi ha una constant numèrica, cridada constant d'acople, que calibra lo intensa que és l'interacció. Per eixemple, en el tercer terme, i és la càrrega elèctrica de l'electró. En general no es coneix com calcular cantitats físiques —com a provabilitats de colisió en un experiment d'altes energies— de manera exacta en presència d'estos térmens d'interacció, lo que requerix aproximar el resultat de manera perturbativa.

En una teoria de camps en interacció el número de partícules pot variar, lo que permet descriure sistemes en els que el número de partícules presents no és constant. Açò és per la presència dels térmens no quadràtics: necessàriament contenen productes d'operadors destrucció i creació en un número descompensado. Una atra conseqüència de l'interacció entre camps quàntics és l'existència de les antipartículas: si les partícules d'un cert sistema interaccionen entre sí i posseïxen alguna càrrega el valor de la qual es conserva —com la càrrega elèctrica o la càrrega de color—, per a poder descriure-ho per mig d'una teoria quàntica de camps relativiste és necessari assumir la presència d'una «còpia» per a cada partícula, en idèntica massa pero càrrega oposta.

Enfocaments alternatius

Vore també: Teoria quàntica de camps axiomàtica i Teoria quàntica de camps en espai-temps curve

La descripció de la teoria quàntica de camps com la cuantización canònica d'un camp i la subsecuente associació a un sistema de partícules de número indeterminat és un dels enfocaments majoritaris per a definir-la. No obstant existixen atres maneres de presentar i estudiar la teoria. El formalisme de l'integral de camins és equivalent a la cuantización canònica, i pot prendre's com a postulat inicial. Una atra possibilitat, en el context de la física d'altes energies, és derivar les lleis més generals possibles que aúnen mecànica quàntica i relativitat especial, per a descriure el comportament de les partícules subatòmiques. Estes lleis necessàriament prenen la forma d'una teoria quàntica de camps. Abdós possibilitats són complementàries sobre lo que consideren inicialment més fonamental: el camp o les partícules.

Des d'un punt de vista matemàtic, la teoria quàntica de camps no posseïx el mateix nivell de rigor que la mecànica quàntica més elemental. Açò ha motivat l'interés d'estudiar-la en un enfocament formal o axiomàtic, intentant trobar estructures matemàtiques completament rigoroses que capturen les seues característiques principals. El cas particular del camp de Yang-Mills constituïx l'enunciat d'un dels problemes del mileni.

Existixen també generalisacions de la teoria quàntica de camps en distints contexts. La teoria de camps a temperatura finita descriu processos termodinàmics en creació i destrucció de partícules, i incorpora modificacions similars a les de la física estadística quàntica. La teoria quàntica de camps en espai-temps curve és el formalisme necessari per a descriure el camp quàntic en presència de gravetat.

Vore també

• Segona cuantización.
• Teoria quàntica de camps en espai-temps curve.
• Teoria de camp de gauge.
• Topología quàntica.

Bibliografia

• Cao, Tian Yu (1997). Conceptual developments of 20th century field theories (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0521431786.
• Coleman, Sidney (1985). Aspects of symmetry (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0521318270.
• Goldstein, Herbert (1998). Mecànica clàssica, Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4306-5.
• Itzykson, Claude; Zuber, {{{nom2}}} (1980). Quàntum field theory (en anglés), McGraw-Hill International Book Co.. ISBN 0-07-032071-3.
• Langacker, Paul (2010). The Standard Model and beyond (en anglés), CRC Press. ISBN 978-1-4200-7906-7.
• Kuhlmann, Meinard. Edward N. Zalta (ed.): «Quàntum field theory». The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Archivat des d'el original, el 12 de març de 2012. Consultat el 12 de març de 2012.
• Nair, V. Parameswaran (2005). Quàntum field theory: a modern perspective (en anglés), Springer Science. ISBN 0-387-21386-4.
• Peskin, Michael; Schroeder, {{{nom2}}} (1995). An introduction to quàntum field theory (en anglés), Westview Press. ISBN 0-201-50397-2.
• Rajaraman, R. (1989). Solitons and instantons (en anglés), North-Holland. ISBN 0-444-87047-4.
• Sakurai, Jun John (1967). Advanced quàntum mechanics (en anglés), Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201067101.
• Sakurai, Jun John (1994). Modern quàntum mechanics (en anglés), Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-53929-2.
• Sterman, George (1993). An introduction to quàntum field theory (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0521322588.
• Weinberg, Steven (1995). The quàntum theory of fields I: Foundations (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
• Weinberg, Steven (1996). The quàntum theory of fields II: Modern applications (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
• Zee, A. (2003). Quàntum field theory in a nutshell (en anglés), Princeton University Press. ISBN 0-691-01019-6.
• Ynduráin, Francisco José (2003). Mecànica quàntica, 2ª edició, Ariel. ISBN 84-344-8060-3.

• Ynduráin, Francisco José (1989). Mecànica quàntica relativiste (en una introducció a la teoria quàntica de camps), Aliança Editorial. ISBN 978-84-206-8129-0.

Bibliografia adicional en espanyol

• Dirac, Paul A.M. (1968). Principis de mecànica quàntica, Ariel.
• Berestetskii, V.B.; Lifshitz, {{{nom2}}}; Pitaevskii, {{{nom3}}} (1971). Teoria quàntica relativista, 1, Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4084-2.
• Berestetskii, V.B.; Lifshitz, {{{nom2}}}; Pitaevskii, {{{nom3}}} (1981). Teoria quàntica relativista, 2, Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4085-9.
• Kittel, Charres (1997). Introducció a la física de l'estat sòlit, 3ª edició, Reverté. ISBN 84-291-4317-3.