Integral de camins (mecànica quàntica)

Qualsevol possible trayectòria entre $A$ i $B$ contribuïx a la provabilitat de que una partícula es propague entre abdós punts.

La formulació per mig de integral de camins de la mecànica quàntica és un enfocament en el que les relacions fonamentals d'esta teoria es deriven utilisant la noció de sumixca sobre històries, publicada per Richard Feynman en 1948. Es tracta d'una formulació no relativista i equivalent a l'equació de Schrödinger i a la mecànica matricial d'Heisenberg, i que permet abordar alguns problemes de forma més simple. l'observable bàsic d'este enfocament de mecànica quàntica és la provabilitat de que una partícula es propague entre dos punts $a$ i $b$ en un temps donat $T$. Per mig de l'integral de camins, esta cantitat és calculada assignant una amplitut a cada trayectòria que unix abdós punts en eixe temps sense excepció, i sumant estes de manera coherent, de manera que les diferències de fase pràcticament cancelen la contribució d'aquelles que són menys provables.

Formulació històrica

La propagació d'una partícula entre els punts a i b es pot generalisar en obtindre a i b com els resultats de dos mides independents sobre els observables A i B en diferents instants del temps. Si es plantegen tres d'estes mides, A, B i C, i es denota per P_ij la provabilitat de que, havent-se obtingut el resultat i en la mida I, s'obtinga el resultat j en la medida J, la llei clàssica que relaciona les provabilitats és:

$P_{ac}=\sum _b{P}_{ab}{P}_{bc}$

mentres que cuánticamente es requerix la transformació en

${\varphi }_{ac}=\sum _b{\varphi }_{ab}{\varphi }_{bc}$

a on la relació entre la provabilitat real P i l'número complejo $\varphi$ ve donada per $P_{ij}=|{\varphi }_{ij}{|}^2$, també coneguda com la regla de Born. Esta transformació és resultat de la naturalea ondulatoria de la matèria, i va ser considerada per Feynman com el fonament de la seua formulació de la mecànica quàntica.

Els dos postulats originals d'esta formulació són:

1. Si es porta a terme una medida ideal per a determinar si una partícula seguix un camí en una regió concreta del espai-temps, llavors la provabilitat de que el resultat siga afirmatiu és el quadrat absolut d'una suma de contribucions complexes, una per a cada camí en eixa regió.
2. Els camins contribuïxen igualment en magnitut, pero la fase de la seua contribució és l'acció clàssica (en unitats de $\hslash$), és dir, l'integral de temps del lagrangiano pres a lo llarc d'eixe camí.

Feynman va relacionar la seua integral de camins en el principi de Fresnel - Huygens. Es pot formular este principi com «Si es coneix l'amplitut d'una ona en una superfície donada, l'amplitut en un punt propenc pot obtindre's com sumixca de les contribucions de tots els punts de la superfície, a on cada contribució sofrix un desfasament proporcional a l'hora que li costaria a la llum aplegar de la superfície al punt seguint el raig lluminós més curt en òptica geomètrica». Análogament, si es coneix l'amplitut d'una ona $\psi$ en una «superfície» que consistix en totes les x en un temps t, el seu valor en un punt propenc en el temps $t+ϵ$ és la suma de totes les contribucions des de la superfície a temps t, a on cada contribució sofrix un desfasament proporcional a l'acció que precisaria per a moure's de la superfície al punt seguint el camine de mínima acció de la mecànica clàssica.