Mecànica matricial

Werner Heisenberg (a l'esquerra) i Niels Bohr (a la dreta).

La mecànica matricial és una formulació de la mecànica quàntica creada per Werner Heisenberg, Max Born i Pascual Jordan en 1925. La mecànica matricial va ser la primera implementació matemàtica completa de la mecànica quàntica. Estén el model de Bohr en descriure cóm ocorren els bots quàntics. Ho realisa interpretant les propietats físiques de les partícules com a matrius que evolucionen en el temps. És equivalent a la formulació ondulatoria plantejada per Erwin Schrödinger i és la base de la notació bra-ket de Paul Dirac per a la formulació ondulatoria. En la pràctica, cau pronte en el desús en aparéixer la formulació d'Erwin Schrödinger.

Introducció

A inicis de el XX la ruptura dels conceptes clàssics en els experiments realisats era evident. Els primers models varen ser proposts per Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld i molts uns atres; els qui varen fundar les bases de lo que ara es coneix com mecànica quàntica. No obstant, esta ruptura en la mecànica clàssica a pesar de ser prometedora era evident que molts dels conceptes estaven sent establits ad hoc. En la década dels vint, un grup de relativament jóvens físics varen prendre el liderage en l'elaboració d'una teoria d'acort en els nous postulats trobats; teoria que, contraria a la formulació clàssica, devia ser basada en els experiments i no en l'intuïció. Ademés de requerir un llenguage matemàtic més precís.

En este sentit, Werner Heisenberg va ser el primer en completar una formulació matemàtica més elaborada de la mecànica quàntica. Esta formulació es basa que els aspectes teòrics dels sistemes estan fundats exclusivament en les relacions entre cantitats pertanyents al sistema que, en principi, és observable. En mecànica quàntica, els observables són les cantitats que directa o indirectament poden ser experimentalment mides. Esta premissa ho va conduir a una formulació exitosa de la mecànica quàntica basat en la teoria de matrius.

Heisenberg va treballar en senyes experimentals relacionades en la transició atòmica de les interaccions dels àtoms en quants de llum, fotons, tractant d'identificar els observables rellevants. D'esta manera ell va argumentar que les cantitats relacionades en les transicions eren els objectes bàsics rellevants. En 1925 Heisenberg va propondre la primera estructura matemàtica coherent sobre la teoria atòmica per als àtoms.

En l'elaboració d'esta Mecànica Matricial va ser important el treball de Max Born i Pascual Jordan, els qui varen reconéixer que eixes cantitats obedien les regles preestablides per l'àlgebra matricial.

Raonament de Heisenberg

Previ a la Mecànica Matricial, la teoria quàntica anterior descrivia el moviment d'una partícula per mig d'una orbita clàssica en posició $X (t)$ i moment $P (t)$ ben definit, en la restricció que l'integral temporal sobre un periodo T de moment per velocitat devia ser un múltiple sancer positiu de la constant de Planck:

$\int_{0}^{T} P d X = n h .$

La teoria quàntica anterior no descriu processos depenents del temps, com l'absorció o emissió de radiació, no obstant esta restricció amprada correctament pren òrbites en energia $E_{n}$ .

Quan a una partícula clàssica li l'acopla débilmente a un camp de radiació, és dir quan el amortiguamiento de la radiació pot ser despreciat, est emetrà radiació en un patró que es repetix cada periodo orbital. Les freqüències que componen l'ona eixint són llavors són múltiples sancers de la freqüència orbital. Est és un síntoma que manifesta que $X (t)$ és periòdic, lo que nos indica que les representacions de Fourier únicament tenen els valors de freqüència $2 π n / T$ :

$X (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{2 π i n t / T} X_{n}$

a on els coeficients $X_{n}$ són complexos. Els que tenen freqüències negatives deuen ser els complexos conjugats dels que tenen freqüències positives, d'esta manera $X (t)$ és sempre real:

$X_{n} = X_{- n}^{*}$ .

Per un atre costat, una partícula mecanocuántica no pot emetre contínuament radiació, solament pot emetre fotons. Assumint que esta partícula es troba en una òrbita $n$ , emet un fotó i es trasllada a una òrbita $m$ . L'energia del fotó és $E_{n} - E_{m}$ , que significa que la seua freqüència és $(E_{n} - E_{m}) / h$ . Per a $n$ i $m$ , pero en $n - m$ relativament menuts, estes són les freqüències clàssiques del principi de correspondència plantejat per Bohr:

$E_{n} - E_{m} \approx \frac{h (n - m)}{T}$

a on $T$ és el periodo clàssic d'una de les òrbites $n$ o $m$ quan la diferència entre elles és d'un orde major a $h$ . No obstant para $n$ o $m$ menuts o si $n - m$ és molt gran, les freqüències no són múltiples sancers de cap de les freqüències.

Quan les freqüències d'emissió de la partícula són les mateixes freqüències de la descripció de Fourier del seu moviment, açò sugerix que alguna cosa està oscilant en la descripció depenent del temps de la partícula en freqüència $(E_{n} - E_{m}) / h$ . Heisenberg va denominar a esta cantitat $X_{n m}$ i va exigir que siga reduït als coeficients clàssics de Fourier en el llímit clàssic. Per a valors molt grans de $n$ i $m$ , pero en valors relativament menuts de $n - m$ , $X_{n m}$ és el coeficient de Fourier $(n - m)$ -ésimo del moviment clàssic en l'òrbita $n$ . Quan $X_{n m}$ té freqüències opostes a $X_{m n}$ , la condició que $X$ siga real es convertix en:

$X_{n m} = X_{m n}^{*}$ .

Per definició, $X_{n m}$ té solament les freqüències $(E_{n} - E_{m}) / h$ , aixina que la seua evolució temporal és simplement:

$X_{n m} (t) = e^{2 π i (E_{n} - E_{m}) t / h} X_{n m} (0)$ ,

que és la forma original de l'equació de moviment de Heisenberg.

Donades dos matrius $X_{n m}$ i $P_{n m}$ que descriuen dos cantitats físiques, Heisenberg va poder formar un nou apany del mateix tipo en combinar els térmens $X_{n k} P_{k m}$ , que oscilen en la freqüència correcta. Com els coeficients de Fourier del producte de dos cantitats és la convolución d'estos coeficients de forma separada, la correspondència en les séries de Fourier varen permetre a Heisenberg deduir la regla per la que estes matrius devien ser multiplicats:

$(X P)_{m n} = \sum_{k = 0}^{\infty} X_{m k} P_{k n}$ .

Max Born va notar que esta és la llei de multiplicació per a matrius, per lo que la posició, el moment, l'energia i tots els observables són interpretats com a matrius. Per la regla de multiplicació el producte depén de l'orde, és dir $X P \neq P X$ .

La matriu X descriu completament el moviment d'una partícula mecanocuántica. Degut a que les freqüències en el moviment quàntic no són múltiples d'una freqüència comuna, els elements de la matriu no poden ser interpretats com els coeficients de Fourier d'una trayectòria clàssica. No obstant, com $X (t)$ i $P (t)$ són matrius, satisfan les equacions clàssiques del moviment.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Mecánica matricial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.