Llímit clàssic

El llímit clàssic és l'habilitat d'una teoria física per a aproximar-se al comportament predit per la mecànica clàssica quan el valor de cert paràmetro especial d'estes teories s'aproxima un "valor clàssic"; s'usa en les teories físiques que prediuen un comportament no-clàssic. Els casos més usuals de llímit clàssic són:

• El llímit clàssic de la mecànica quàntica, a on el paràmetro especial és la constant de Planck i el seu valor clàssic és 0: $\hslash \to 0$.
• El llímit clàssic de la teoria de la relativitat especial o general, a on el paràmetro especial és la velocitat de la llum i el seu valor clàssic és infinit: $c\to \mathrm{\infty }$.

Llímit clàssic de la mecànica quàntica

Per a conciliar les prediccions de la mecànica quàntica a nivell microscòpic en les prediccions de la mecànica clàssica a nivell macroscòpic, Niels Bohr va introduir el principi de correspondència dins de la teoria quàntica. Dit principi postula alguns dels arguments de continuïtat deuen ser aplicats al llímit clàssic dels sistemes quàntics a mida que els valors de la constant de Planck s'aproximen a zero.

En la mecànica quàntica, pel principi d'incertitut de Heisenberg, un electró no pot estar mai en repòs; té sempre que tindre una energia cinètica distinta de zero, un resultat que no es troba en la mecànica clàssica. Per eixemple, si considerem alguna cosa relativament més gran que un electró, tal com una pilota de fútbol, el principi d'incertitut prediu que no pot tindre una energia cinètica igual a zero, pero l'incertitut en l'energia cinètica és tan menuda, que la pilota de fútbol pot semblar que estiguera en repòs, i per esta raó sembla obedir a la mecànica clàssica. En general, si grans energies i grans objectes (en comparació al tamany i els nivells d'energia d'un electró) són considerats en la mecànica quàntica, els resultats semblaran obedir a la mecànica clàssica.

D'acort en el principi de correspondència de Bohr, totes les equacions de la mecànica quàntica no-relativista deuen coincidir en els resultats de la mecànica clàssica quan en ells es practica adequadament el llímit clàssic. Aixina per eixemple el llímit clàssic de l'equació de Schrödinger per a la funció d'ona donada per:

Resulta idèntica a l'equació d'Hamilton-Jacobi de la mecànica clàssica. Un càlcul directe du de fet a que l'equació de Schrödinger en la substitució anterior es pot escriure com:

Interpretant la fase de l'ona $S(x,t)/\hslash$ com la magnitut d'acció dividida de la constant de Planck, i fent tendir esta a zero s'aplega al llímit clàssic. Pot vore's alternativament que mida que la massa de l'objecte és més i més gran es recupera igualment el llímit clàssic. La qual cosa explica perqué els cossos macroscòpics es comporten "clásicamente" aun cuando la constant de Planck no siga exactament zero.

Llímit clàssic de la mecànica relativista

Si en la relativitat especial, considerem que l'espai és pla i les velocitats són chicotetes (en comparació a la velocitat de la llum), trobem que els objectes novament semblen obedir a la mecànica clàssica. La teoria general de la relativitat requerix ademés de lo anterior que l'espai siga casi pla. Dita condició requerix, ademés de que la pequeñez de velocitats, que els camps gravitatorios de les masses siguen menuts, condició que es complix aceptablemente sempre que les distàncies entre les partícules estiguen siguen chicotetes en relació en la seua massa:

(3) $\frac{GM}{d{c}^2}<<1$,

A on:

$M$, és la massa total que crea el camp gravitatorio.

$d$, és la distància entre el punt considerat i el centre de masses que crea el camp gravitatorio.

$c,G$, són la velocitat de la llum i la constant de la gravitació.

Llímit clàssic de la relativitat especial

La majoria d'equacions de la teoria de la relativitat especial convergixen a l'expressió clàssica sense més que fer formalment tendir el paràmetro que dona la velocitat de la llum a infinit. En algunes atres expressions es requerix restar primer una constant aditiva que no es reflectix en les equacions clàssiques:

• Energia cinètica

• Moment llineal

• Lagrangiano d'una partícula lliure (en constant aditiva).

• equació d'Hamilton-Jacobi, intoduciendo en esta equació $S=S^{\prime }-m{c}^{2}t$

Llímit clàssic de la relativitat general

La teoria general de la relativitat explica que el camp gravitatorio pot ser entés com un efecte de la curvatura de l'espai-temps, mentres que en mecànica clàssiques s'assumix que l'espai és euclídeo. El llímit clàssic de la teoria de la relativitat general pot obtindre's suponent que la curvatura de l'espai-temps tendix a zero, i simultàneament la velocitat de la llum és molt gran comparada en les velocitats de totes les partícules. Com la curvatura està relacionada en l'intensitat del camp gravitatorio el llímit clàssic de la teoria de la relativitat implica considerar camps gravitatorios dèbils, és dir, tals que el potencial gravitatorio és chicotet comparat en la velocitat de la llum al quadrat en tots els punts, tal com es va expressar per mig de la relació (3):

Quan es complix la relació anterior es poden estudiar l'aproximació per a camps gravitatorios dèbils de les equacions de la relativitat general. La teoria newtoniana pot obtindre's com el llímit clàssic de l'aproximació per a camps dèbils sense més que fer formalment tendir el paràmetro que dona la velocitat de la llum a infinit i que el potencial gravitatorio siga chicotet en relació en el quadrat de la velocitat de la llum. Per a trobar el llímit clàssic de la teoria de la relativitat per mig de l'aproximació de camp dèbil escriurem el tensor mètric que representa la curvatura com la suma del tensor mètric d'un espai pla més un terme adicional que expressa la desviació respecte a la planitud:

A on:

${\eta }_{ij}$ és la mètrica de Minkowski per a un espai-temps pla (sense curvatura).

$\alpha ,\beta \in \{0,1,\dots ,3\}$ són els índexs tensoriales.

• Equació de moviment, d'acort en la teoria de la relativitat general una partícula sobre la que no actua cap força electromagnètica es mou a lo llarc d'una geodèsica:

A on $i,j,k\in \{1,2,3\}$. Introduint en l'equació anterior la relació (7) i tenint en conte que $d{x}^0/d\tau \approx 0$ i que el temps propi i el temps coordenaddo en este cas $t\approx \tau$ es pot ser que els dos primers térmens de l'últim membre són molt més menuts que l'últim i la relació anterior es pot aproximar en el llímit clàssic per mig de:

Les components omeses en l'anterior relació són molt més chicotetes que les no omeses tenen a zero quan $c\to \mathrm{\infty }$. L'expressió (8b) coincidix en l'equació clàssica si s'identifica la component temporal del tensor mètric en el potencial gravitatorio per mig de:

• Lagrangiano, comparant l'integral d'acció relativista i l'integral d'acció clàssica:

A on, com en el cas de la relativitat especial, s'ha introduït en el lagrangiano la constant $-m{c}^2$ corresponent a l'energia en repòs, que no afecta a les equacions del moviment, pero que fa que es poden identificar directament els térmens que apareixen en (rel) i els que apareixen en (clas). Novament abdós expressions coincidixen si es pren la component temporal $h_{00}$ del tensor mètric com en (8b), és dir, $h_{00}(𝐱)=-2{\varphi }_g(𝐱)$. A partir els casos anteriors es conclou que el tensor mètric el llímit clàssic del qual reproduïx els resultats de la mecànica newtoniana deu tindre la forma:

• Equació de camp i equació de Poisson. Introduint el tensor anterior en les equacions de camp d'Einstein en un tensor energia impulse dau per:

i considerant només térmens de primer orde en el càlcul del tensor de Ricci s'obté:

L'última expressió és precisament l'equació de Poisson que és l'expressió clàssica que relaciona el potencial gravitatorio en la densitat de matèria.

Referències

Bibliografia

• Annalen der Physik.

769-822. (Text en espanyol)

• Landau & Lifshitz, Teoria clàssica dels camps, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.