Equació de Poisson

En matemàtica i física, la equació de Poisson és una equació en derivades parcials en un ampli us en electrostàtica, ingenieria mecànica i física teòrica. Es deu al matemàtic, geómetra i físic francés Siméon-Denis Poisson, que la va publicar en 1812 com a correcció de l'equació diferencial parcial de segon orde de Laplace per a l'energia potencial.

L'equació de Poisson es definix com:

$\Delta \phi =f$

a on $\Delta$ és l'operador laplaciano, i f i $\phi$ són funcions reals o complexes. En un sistema de coordenades cartesianas tridimensional, pren la forma:

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$

Si $f=0$, l'equació es convertix en l'equació de Laplace

$\Delta \phi =0.$

Problema de Poisson

L'equació de Poisson junt en les condicions de contorn homogénees, constituïx un dels tres problemes clàssics relacionats en l'operador laplaciano que es detallen a continuació. Concretament, el problema de Poisson és el problema de trobar una funció $\phi$ definida sobre el domini $\Omega$ que satisfaça:

Este tipo de problema pot ser resolt de manera senzilla, per mig del método de la funció de Green, per a n > 2:

Problemes de potencial

L'equació anterior apareix en problemes electrostàtics i de potencial gravitatorio. En eixos problemes, ρ representa la densitat de càrrega elèctrica o be la densitat de massa. Ademés la constant c_n deu ser presa 1/ε₀ per a problemes electrostàtics (en SI), mentres que en problemes de potencial gravitatorio es pren com a c_n = 4π G.

Problema de Dirichlet

Artícul principal → Problema de Dirichlet.

El problema de Dirichlet és un problema de trobar una funció harmònica sobre un domini $\Omega$ tal que siga igual a una atra funció donada sobre el contorn de tal domini:

En electrostàtica, el problema de Dirichlet es correspon en el problema de trobar el camp dins d'una cavitat metàlica "conectada a terra" (potencial constant) de forma $\Omega$ dins de la qual hi ha una distribució de càrrega donada per $\rho$.

Relació en el problema de Poisson

Existix un mig per a reduir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si $f(\overline{𝐱})$ és una funció de classe C¹ sobre la frontera del domini i $\tilde{f}(\overline{𝐱})$ és una extensió de $f$ a tot el domini $\Omega$ que siga de classe C², és dir:

$\tilde{f}(\overline{𝐱})=f(\overline{𝐱})\mathrm{\forall }\overline{𝐱}\in \partial \Omega$

Llavors la solució del problema de Dirichlet (2) ve donada per una funció suma de l'extensió anterior i una atra funció que és solució d'un problema de Poisson com (1):

$\phi (𝐱)=\tilde{f}(𝐱)+{\phi }_1(𝐱)$

$\Delta {\phi }_1(𝐱)=-c_n\tilde{\rho }\tilde{\rho }:=\frac{\Delta \tilde{f}}{c_n}{\phi }_1(\overline{𝐱})=0$

Referències

Bibliografia

• Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.

Enllaços externs

• Equacions diferencials elíptiques
• Solucions exactes de l'equació de Poisson