Problema de Dirichlet

En matemàtiques, el problema de Dirichlet és un problema que consistix en trobar una funció que és la solució d'una equació en derivades parcials (EDP) en l'interior d'un domini de ${ℝ}^n$ (o més generalment una varietat diferenciable) que prenga valors prescrits sobre el contorn de dit domini.

El problema de Dirichlet pot resoldre's per a moltes EDPs, encara que originalment va ser plantejada per a l'equació de Laplace. En este cas el problema pot enunciar-se com seguix:

Donada una funció $f$ en valors en tots els punts del contorn d'una regió en ${ℝ}^n$. ¿Existix una única funció contínua $u$ dos voltes contínuament diferenciable en l'interior i contínua en el contorn, tal que o és harmònica en l'interior i $u=f$ en el contorn?

Este requisit es denomina condició de contorn de Dirichlet. En este problema és fonamental provar l'existència de la solució; l'unicitat ve donada utilisant el principi del màxim.

Història

El problema de Dirichlet deu el seu nom a Lejeune Dirichlet, qui va propondre una solució per a un método variacional el qual es coneix com principi de Dirichlet. L'existència d'una solució única és molt plausible pel 'argument físic': qualsevol distribució de càrrega sobre el contorn, per a les lleis de l'electrostàtica, deurà determinar un potencial elèctric com a solució.

No obstant, Weierstrass va trobar una falla a l'argument de Dirichlet, i una demostració rigorosa de l'existència va ser trobada recent en 1900 per Hilbert. Va resultar llavors que l'existència d'una solució depén delicadamente de la suavitat del contorn i de les senyes prescrites.

Solució general

Per a un domini $D$ tenint la suavitat suficient sobre el contorn $\partial D$, la solució general al problema de Dirichlet és:

a on

$G(x,y)$ és la funció de Green per a l'equació en derivades parcials, i

$\frac{\partial G(x,s)}{\partial n}=\hat{n}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{s}G(x,s)=\sum _i{n}_i\frac{\partial G(x,s)}{\partial s_i}$

és la derivada de la funció de Green a lo llarc del vector unitari normal apuntant cap a l'interior $\hat{n}$. L'integració es realisa sobre el contorn, en la medida $ds$. La funció $\nu (s)$ està donada per la solució única de l'equació integral de Fredholm de segona classe,

La funció de Green a utilisar en l'integral de dalt desapareix en el contorn:

per a $s\in \partial D$ i $x\in D$. Tal funció de Green usualment és una suma de les funcions de Green del camp lliure una solució harmònica a l'equació diferencial.

Existència

El problema de Dirichlet per a funcions harmòniques sempre té solució, i eixa solució és única quan el contorn és suficientment suau i $f(s)$ és contínua. Més precisament, té solució quan:

per a $0<\alpha$, a on $C^{(1,\alpha )}$ és la condició de Hölder.

Les condicions anteriors poden relaixar-se podent-se provar que el problema de Dirichlet admet solució contínua per a un domini convexo (sense requerir condicions de suavitat) o quan cada punt del contorn pertany a una bola tancada íntegrament continguda en el conjunt complementari de l'interior del domini (condició de la bola tancada exterior).

Unicitat

Suponga's l'existència de dos funcions harmòniques en una regió R simplement conexa que complixen:

$\Delta u_1=\Delta u_2\mathrm{\forall }x\in Ry{u}_1{|}_{\delta R}=u_2{|}_{\delta R}=f(x)\mathrm{\forall }x\in \delta R$

Es construïx la següent funció:

$u_0=u_1-u_2\mathrm{\forall }x\in R$

Per construcció la funció donada complix:

$\Delta u_0=\Delta (u_1-u_2)=\Delta u_1-\Delta u_2=0y{u}_0{|}_{\delta R}=u_1{|}_{\delta R}-u_2{|}_{\delta V}=0$

Integrant la norma del gradient de $u_0$ en tot el volum delimitat pel contorn i aplicant el teorema de Green es té que:

$\underset{R}{\int }\mathrm{\nabla }{u}_0\cdot \mathrm{\nabla }{u}_{0}dV=\underset{R}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (u_0\mathrm{\nabla }{u}_0)dV-\underset{R}{\int }{u}_0\Delta u_{0}dV=\underset{\delta R}{\int }{u}_0\mathrm{\nabla }{u}_0\cdot dS-\underset{R}{\int }{u}_0\Delta u_{0}dV$

pero

$\Delta u_0=0\Rightarrow \underset{R}{\int }{u}_0\Delta u_{0}dV=0$

$u_0{|}_{\delta R}=0\Rightarrow \underset{\delta R}{\int }{u}_0\mathrm{\nabla }{u}_0\cdot dS=0$

de modo que:

$\underset{R}{\int }\mathrm{\nabla }{u}_0\cdot \mathrm{\nabla }{u}_{0}dV=\underset{R}{\int }||\mathrm{\nabla }{u}_0|{|}^{2}dV=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }{u}_0=0\mathrm{\forall }x\in R\Rightarrow u_0=cte\mathrm{\forall }x\in R$

Ya que $u_0{|}_{\delta R}=0$ es té finalment que:

$u_0=0\mathrm{\forall }x\in R\Rightarrow u_1=u_2\mathrm{\forall }x\in R$

Construcció de Perron

Artícul principal → Método de Perron.

Quan el problema de Dirichlet es planteja sobre un conjunt obert $\Omega$ i acotat de ${ℝ}^n$ i $f$ denota una funció real contínua sobre la frontera $\partial \Omega$ pot definir-se l'anomenada construcció de Perron que convertix el problema de Dirichlet en un problema de minimisació. Si es definix el conjunt de Perron $S_f$ per a $f$ com el conjunt de funcions reals contínues $u$ definides sobre $\overline{\Omega }$ que són subarmónicas sobre $\Omega$ i que satisfan que $u\le f$ sobre $\partial \Omega$. Note's que este conjunt és no buide ya que conté la funció constant para $u(x)=m$, sent para $m$ el mínim de la funció $f$ sobre la frontera. Pot provar-se que la següent funció:

és solució del problema de Dirichlet buscat quan la frontera és tal que el problema admet solució única. Aun cuando la funció anterior no siga una solució del problema de Dirichlet per irregularitats en la frontera, pot provar-se que seguix sent una funció harmònica sobre para $\Omega$.

Vore també

• Método de Perron

Referències

• Plantilla:Springer
• S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
• S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.