Principi de Dirichlet (teoria del potencial)

En matemàtica, el principi de Dirichlet en teoria del potencial expressa que, si la funció o(x) és la solució de l'equació de Poisson

$\Delta u+f=0$

en un domini $\Omega$ de ${ℝ}^n$ en condició de frontera

$u=g\text{ sobre }\partial \Omega ,$

llavors o pot ser obtingut com el minimizador de l'energia de Dirichlet

$E[v(x)]=\underset{\Omega }{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

entre totes les funcions doblement diferenciables $v$ tals que $v=g$ sobre $\partial \Omega$ (proporcionant l'existència d'a lo manco una funció que fa l'integral de Dirichlet finita). Este concepte és anomenat en honor al matemàtic alemà Peter Gustav Lejeune Dirichlet. ya que l'integral de Dirichlet està acotada inferiorment, l'existència d'un ínfim està garantisada. Que eixe ínfim s'alcança va ser donat per fet per Riemann (qui va falcar el terme principi de Dirichlet) i uns atres fins que Weierstraß va donar un eixemple d'un funcional que no alcançava el seu mínim. Més vesprada, Hilbert justificaria l'us, per part de Riemann, del principi de Dirichlet.

Vore també

• Energia de Dirichlet
• Problema de Plateau
• Primera Identitat de Green

Referències

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations, American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729.
• Dirichlet's Principle en MathWorld.