Problema de Plateau

Eixemple pràctic del problema de Plateau en formes creades en aram i pompes de sabó.

En matemàtiques, el problema de Plateau és mostrar l'existència d'una superfície minimal en una frontera donada, un problema plantejat per Joseph-Louis Lagrange en 1760. No obstant, va ser nomenat posteriorment per Joseph Plateau qui va experimentar en películes de sabó. El problema és considerat part del càlcul de variacions. L'existència i regularitat dels problemes són part de la teoria geomètrica de la mida.

Plantejament

Fotografia d'una bombeta de sabó formant un catenoide.

La generalisació del problema de Plateau formulat consistix en lo següent:

Es dona una curva tancada (de Jordan) en l'espai. Trobar la superfície que conté esta curva i tal que l'àrea compresa per la curva siga mínima.

Es donen dos punts $P_1(x_1,y_1)$ i $P_2(x_2,y_2)$ del pla $xy$. Siga $x_1<x_2$. Supongam que $y=y(x)$ és l'equació d'una curva que unix els punts $P_1$ i $P_2$, és dir,

$y=y(x_1)$, $y=y(x_2)$.

La curva gira al voltant de l'eix $x$ agranant certa superfície de revolució. Es pregunta: ¿quin és la superfície de rotació que té la menor àrea possible? D'esta manera s'aplega al problema de l'elecció de la funció $y(x)$ per a la que l'integral

$S=2\pi \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}y\sqrt{1+y^{\text{'}2}}dx$

(àrea de la superfície de revolució) és mínima. Estes superfícies de revolució mínimes, baix certes restriccions adicionals sobre els punts $P_1$ i $P_2$, es denominen catenoides.