Energia de Dirichlet

En matemàtiques, la energia de Dirichlet és una mida numèrica de cóm de variable és una funció. Més abstractament, és un funcional quadràtic sobre l'espai de Sóbolev ${𝐇}^1$. L'energia de Dirichlet està íntimament conectada en l'equació de Laplace i el seu nom es deu al matemàtic alemà Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definició

Donat un conjunt obert $\Omega \subseteq {ℝ}^n$ i una funció $u:\Omega \to {ℝ}^n$ la energia de Dirichlet de la funció $u$ és el número real

$E[u]=\frac{1}{2}\underset{\Omega }{\int }|\mathrm{\nabla }u(x){|}^2\mathrm{d}x,$

a on $\mathrm{\nabla }u:\Omega \to {ℝ}^n$ denota el gradient del camp vectorial de la funció $u$.

Propietats i aplicacions

ya que és l'integral d'una cantitat no negativa, l'energia de Dirichlet no és una cantitat negativa, i.i. $E[u]\ge 0$ per a qualsevol funció $u$.

Resoldre l'equació de Laplace

$-\Delta u(x)=0\text{ para todo }x\in \Omega$

(subjecta a les apropiades condiciones de frontera) és equivalent a resoldre el problema de variacions de trobar una funció $u$ que satisfaça les condicions de contorn i tinga la mínima energia de Dirichlet.

Tal solució és cridada funció harmònica i eixes solucions són el tema d'estudi de la teoria del potencial.

Vore també

• Principi de Dirichlet (teoria del potencial)

Referències

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations, American Mathematical Society.