Funció harmònica

Funcions harmòniques definides en la banda de l'anell.

En matemàtiques, siga f : D → R (a on D és un subconjunt obert de Rⁿ) una funció real de n variables, se li crida harmònica en D si sobre D té derivades parcials contínues de primer i segon orde i satisfan l'equació de Laplace:

en D. Açò se sol escriure com

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ o també com $\Delta f=0.$

Eixemples

Si treballem en una única variable real, les solucions a l'equació de Laplace són sempre sinusoides, és dir, combinacions llineals de sens i cosenos. En dimensions superiors i en variable complexa pot ser més complicat. Ací presentem uns eixemples:

Eixemples de funcions harmòniques de dos variables

• La part real i imaginària de qualsevol funció holomorfa
• La funció $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$ definida en ${𝐑}^2-0$ (aixina com ho és per eixemple el potencial elèctric per una càrrega en llínea, i el potencial gravitatorio per una massa cilíndrica)

• Si $u$ és una funció harmònica i li apliquem una transformació conforme del pla, continua sent harmònica.

Eixemples de funcions harmòniques de n variables

• Les funcions afins, en particular la funció constant.
• La funció

  $\sum _{i=1}^N{a}_i{x}_i^2$ sempre que $\sum _{i=1}^N{a}_i=0$.

Conexions en l'anàlisis de funcions complexes de variable complexa

La part real i imaginària de qualsevol funció holomorfa són funcions harmòniques. Açò es deriva de que tota funció holomorfa verifica les equacions de Cauchy-Riemann. En tal cas es diu que són harmòniques conjugades.

Vore també

• Equació de Laplace
• Problema de Dirichlet
• Equació de la calor

Referències

• L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
• D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
• Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society