Equacions de Cauchy-Riemann

Equacions de Cauchy-Riemann

Archiu:Cauchy-Riemann.png

Una representació visual d'un vector X en un domini multiplicat per un número complejo z, després assignat per f, en lloc de ser assignat per f i després multiplicat per z. Si abdós donen com a resultat que el punt termine en el mateix lloc per a tots els X i z, llavors f satisfà la condició de Cauchy-Riemann.

Les equacions de Cauchy-Riemann són dos equacions diferencials parcials que són bàsiques en l'anàlisis de funcions complexes de variable complexa, degut a que la seua verificació constituïx una condició necessària (encara que no suficient) per a la derivabilidad d'este tipo de funcions.

Siga una funció complexa $f(z)$, en $z=x+iy$. Se sap que $f(z)$ es pot descompondre en suma de dos funcions reals de dos variables $u$ i $v$, de manera que $f(z)=f(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. Si la funció $f(z)$ és derivable en un punt $z_0=x_0+i{y}_0$ llavors deuen verificar-se les condicions de Cauchy-Riemann:

$u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)$

$u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)$

a on $u_x$ significa la derivada parcial de la funció $u$ respecte a la variable $x$, usualment simbolisat $\frac{\partial u}{\partial x}$. Análogamente per a $u_y$, $v_x$ i $v_y$.

Ademés es complix que el valor de la derivada en el punt, d'existir, deu ser:

$f^{\prime }(z_0)=u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0)$

Les equacions de Cauchy-Riemann constituïxen una diferència fonamental entre la derivabilidad en el sentit complex i la derivabilidad de funcions de dos variables reals, encara que geomètrica i topológicamente $ℂ$ i ${ℝ}^2$ siguen equivalents. En efecte, la funció complexa $f(z)=\overline{z}$ o, equivalentement, $f(x+iy)=x-iy$, no és derivable en el sentit complex, puix no satisfà les equacions de Cauchy-Riemann, com és fàcil comprovar. No obstant, la funció de dos variables reals que geomètricament fa lo mateix, açò és $f(x,y)=(x,-y)$, sí que és derivable, com també és senzill demostrar (puix no té que satisfer necessàriament estes equacions).

Demostració

Siga f una funció de variable complexa:

$f(z=(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)$

que és derivable en un punt $z_0\in ℂ:z_0=(x_0,y_0)=x_0+i{y}_0$. Ya que és derivable, sabem que:

$\mathrm{\exists }\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{\Delta z}=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y)+iv(x,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y-y_0)}$

a on este últim és un llímit doble en el pla ${ℝ}^2$ per l'equivalència topològica existent entre $ℂ$ i ${ℝ}^2$ en la distància euclídea. En tal cas, si existix el llímit doble, sabem que existixen els llímits direccionals i que coincidixen. En particular, existiran els llímits direccionals a lo llarc de $x=x_0$ i de $y=y_0$. Per tant:

1) $f^{\prime }(z_0)=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y_0)+iv(x,y_0)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y_0-y_0)}=$

$=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}+i\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}=$

$={\partial }_{x}u((x_0,y_0))+i{\partial }_{x}v((x_0,y_0))\equiv u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0)$

2) $f^{\prime }(z_0)=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x_0,y)+iv(x_0,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x_0-x_0)+i(y-y_0)}=$

$=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+i\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}=$

$=\frac{1}{i}{\partial }_{y}u((x_0,y_0))+{\partial }_{y}v((x_0,y_0))\equiv v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0)$

Si ara igualem 1 i 2, es deduïxen de manera immediata les equacions de l'enunciat anterior, que es denominen equacions de Cauchy-Riemann. $◻$

Eixemple

Vejam un eixemple de funció derivable en tot número complejo. Per lo tant, les equacions de Cauchy-Riemann es deuran verificar en qualsevol $z=x+iy\in ℂ$.

Considerem la funció $f(z)=z^2$. Escrigam-la en coordenades cartesianas:

$f(x+yi)=(x+yi{)}^2=(x^2-y^2)+i2xy$.

Aixina, les parts real i imaginària de la funció són $u(x,y)=x^2-y^2$ i $v(x,y)=2xy$ respectivament. Derivat sobre $x$ i $y$ és immediat que

$u_x=2x=v_y$

i que

$u_y=-2y=-v_x$.

És dir, se satisfan les equacions de Cauchy-Riemann, com deu ser.

Per últim verifiquem la derivada obedix a la fòrmula de dalt. La derivada de $f$ és $f^{\prime }(z)=2z$, puix les regles per a derivar funcions complexes són les mateixes que per a funcions de variable real ya que, formalment, les definicions de derivada en abdós casos són iguals (vore Funció holomorfa). Per lo tant,

$f^{\prime }(x+iy)=2(x+iy)=2x+i2y=u_x+i{v}_x=v_y-i{u}_y$.

És dir, se satisfà la fòrmula enunciada per a la derivada en funció de les derivades parcials de les parts real i imaginària.