Espai de Sóbolev

Un espai de Sóbolev és un tipo d'espai vectorial funcional, dotat d'una norma de tipo L^p, tal que la funció i les seues derivades fins a cert orde tenen norma finita. Un espai de Sóbolev pot ser considerat com un subespacio d'un espai L^p, estos espais reben el seu nom del matemàtic rus Serguéi Sóbolev.

Espais $W^{m,p}(\Omega )$

Un espai de Sóbolev és un espai vectorial normado de funcions, que pot vore's com un subespacio d'un espai L^p. De fet un espai de Sóbolev és un subespacio vectorial de l'espai L^p format per classes de funcions tals que les seues derivades fins a orde m pertanyen també a L^p. Donat un domini $\Omega \subset {ℝ}^n$ l'espai de Sobolev $W^{m,p}(\Omega )$ es definix com:

A on $D^{\alpha }f$ és la notació multi-índex per a les derivades parcials. Deu tindre's presente que dit espai, de la mateixa manera que L^p(Ω), està de fet format realment per classes d'equivalència de funcions.

La norma de l'espai de Sóbolev es definix a partir de la norma $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\Omega )}$ de L^p:

Algunes propietats interessants són:

• Els espais de Sóbolev són reflexius, és dir isomorfos al seu espai bidual, per a $1<p<\mathrm{\infty }$
• L'espai de Sóbolev $W^{0,p}(\Omega )=L^p(\Omega )$
• $W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )$ si $m>k$
• $C^m(\overline{\Omega })\hookrightarrow W^{m,p}(\Omega )$
• $C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\Omega })\cap W^{m,p}(\Omega )$ és dens en $W^{m,p}(\Omega )$

Esta última propietat permet definir un subespacio de classes d'equivalència de funcions que s'anulen sobre la frontera, a partir de la clausura topològica:

Espais $H^m(\Omega )$

Els espais de Sóbolev, en $p=2$ estan dotats de manera natural de l'estructura d'espai de Hilbert de la mateixa manera que els espais L²:

A on el producte intern es definix a partir del producte intern de L²:

Análogamente al cas dels espais $W_0^{m,p}(\Omega )$ es definix l'espai:

Eixemple

Donat l'interval [a, b], es pot definir l'espai de Sobolev $H^1([a,b])$ a partir de l'espai de funcions contínuament diferenciables sobre [a, b] en un producte escalar obtingut per l'integral definida des de a fins a b, de la suma dels productes de funcions en el producte de les seues derivades:

Dit espai no és complet; el seu completación és un espai de Hilbert cridat espai de Sóbolev i denotat H ${}^1$.

Propietat: L'espai $H^1([a,b])$ està encaixat en l'espai de les funcions contínues $C^1[a,b]$.

Referències

Bibliografia

• R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
• R. Dautray & J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol II, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag, New York, 1988.
• S.L. Sobolev, "On a theorem of functional analysis" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
• S.L. Sobolev, "Some applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1985.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. IIA: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1990.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. III: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1986.