Teorema de Green

Per a atres usos vore Teorema de la divergència.

En física i matemàtiques, la teorema de Green dona la relació entre una integral de llínea al voltant d'una curva tancada simple $C$ i una integral doble sobre la regió plana $D$ llimitada per $C$ . La teorema de Green es diu aixina pel científic britànic George Green, i resulta ser un cas especial del més general teorema de Stokes.

Teorema

Siga $C$ una curva de Jordan simple, positivament orientada, en un pla i siga $D$ la regió llimitada per $C$ . Si $L$ i $M$ són funcions de $(x, i)$ definides en una regió oberta contenint a $D$ i té derivades parcials contínues allí, llavors:

$\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d x d y$

a on el pas d'integració a lo llarc de $C$ és antihorario.^[1]^[2]
Sean $D \subset ℝ^{2}$ una regió simplement conexa la frontera del qual és una curva $C$ suau a trossos orientada en sentit positiu tancada, si $𝐅 = (M, N) : D \to ℝ^{2}$ és un camp vectorial en derivades parcials contínues en una regió oberta que conté a $D$ llavors

\oint_{C} M d x + N d y = \iint_{D} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}) d A

a on $C = \partial D$ .

Demostració quan D és una regió simple

Archiu:Green's-theorem-simple-region.svg

Si

D

és una regió simple en el seu llímit consistent en les curves

C_{1}

,

C_{2}

,

C_{3}

,

C_{4}

, la mitat de la teorema de Green pot ser demostrada.

Lo següent és una demostració de la mitat de la teorema per a la regió $D$ , es demostrarà quan $D$ és una regió tipo I a on $C_{1}$ i $C_{3}$ són curves conectades per llínees verticals (possiblement de llongitut zero). Una demostració similar existix per a l'atra part de la teorema quan es considera a $D$ com una regió tipo II a on $C_{2}$ i $C_{4}$ són curves conectades per curves horisontalment (i una atra volta, possiblement de llongitut zero). Considerant estes dos parts, un demostra la teorema per a una regió de tipo III (definida com una regió que és tant de tipo I com de tipo II).

Pot demostrar-se que si

\oint_{\partial D} M d x = \iint_{D} (- \frac{\partial M}{\partial y}) d A

i

\oint_{\partial D} N d y = \iint_{D} (\frac{\partial N}{\partial x}) d A

són certes llavors la teorema de Green queda demostrat per a la regió $D$ . Podem provar la primera igualtat per a regions de tipo I i la segona per a regions de tipo II en lo que la teorema de Green és vàlit per a regions de tipo III.

Si suponem que $D$ és una regió de tipo I llavors $D$ queda descrita com

D = {(x, y) \in ℝ^{2} : a \leq x \leq b, g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}

a on $g_{1} (x)$ i $g_{2} (x)$ són funcions contínues en $[a, b]$ . Calculant l'integral doble de la primera igualtat tenim

\begin{matrix} \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial y} d A & = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial M}{\partial y} (x, y) d y d x \\ = \int_{a}^{b} [M (x, g_{2} (x)) - M (x, g_{1} (x))] d x \end{matrix}

Ara calculem l'integral de llínea per a la primera igualtat. $\partial D$ pot ser escrit com l'unió de les quatre regions $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ i $C_{4}$ .

Per a $C_{1}$ utilisem les següents equacions paramètriques $x = x$ i $y = g_{1} (x)$ en $a \leq x \leq b$ llavors

\int_{C_{1}} M (x, y) d x = \int_{a}^{b} M (x, g_{1} (x)) d x

Per a $C_{3}$ utilisem les següents equacions paramètriques $x = x$ i $y = g_{2} (x)$ en $a \leq x \leq b$ llavors

\int_{C_{3}} M (x, y) d x = - \int_{- C_{3}} M (x, y) d x = - \int_{a}^{b} M (x, g_{2} (x)) d x

L'integral sobre $C_{3}$ és negativa puix va de $b$ a $a$ . En $C_{2}$ i $C_{4}$ , $x$ és constant per lo que : $\int_{C_{4}} M (x, y) d x = \int_{C_{2}} M (x, y) d x = 0$ Per lo que : $\begin{matrix} \oint_{\partial D} M d x & = \int_{C_{1}} M (x, y) d x + \int_{C_{2}} M (x, y) d x + \int_{C_{3}} M (x, y) d x + \int_{C_{4}} M (x, y) d x \\ = \int_{C_{1}} M (x, y) d x + \int_{C_{3}} M (x, y) d x \\ = \int_{a}^{b} M (x, g_{1} (x)) d x - \int_{a}^{b} M (x, g_{2} (x)) d x \\ = \int_{a}^{b} [M (x, g_{1} (x)) d x - M (x, g_{2} (x))] d x \\ = - \int_{a}^{b} [M (x, g_{2} (x)) d x - M (x, g_{1} (x))] d x \\ = - \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial y} d A \end{matrix}$ De manera anàloga es pot demostrar la segona igualtat, combinant estos dos resultats, haurem demostrat el resultat per a regions de tipo III.

Vore també

Referències

↑ (2010) Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ (2009) Vector Analysis, 2nd edició, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Green» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2010) Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] (2009) Vector Analysis, 2nd edició, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[1]

[2]