Teorema de Stokes

La teorema de Stokes és ubic en àrees de la ciència com la Física, especialment en Electromagnetisme. Ací, el fluix del rotacional del camp inducció magnètica (B) es pot substituir per l'integral de camí de dit camp, derivant aixina la llei de Ampère

La teorema de Stokes, també cridada teorema de Kelvin-Stokes, és una teorema en càlcul vectorial en ${ℝ}^3$. Donat un camp vectorial, la teorema relaciona l'integral del rotacional d'un camp vectorial sobre una superfície, en l'integral de llínea del camp vectorial sobre la frontera de la superfície.

La teorema de Stokes és un cas especial del teorema de Stokes generalisat.

Teorema

Siga $\Sigma$ una superfície suau orientada en ${ℝ}^3$ en frontera $\partial \Sigma$. Si un camp vectorial $𝐅=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ està definit i té derivades parcials contínues en una regió oberta que conté a $\Sigma$ llavors

${\oint }_{\partial \Sigma }𝐅\cdot d𝐫=\underset{\Sigma }{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot d𝐒$

de manera més explícita, l'igualtat anterior diu que

$\begin{array}{cc}& {\oint }_{\partial \Sigma }(Pdx+Qdy+Rdz)\\ & =\underset{\Sigma }{\iint }[(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy]\end{array}$

Aplicacions

Equacions de Maxwell

En electromagnetisme, la teorema de Stokes justifica l'equivalència entre la forma diferencial de l'equació de Maxwell-Faraday i l'equació de Maxwell-Ampère i la forma integral d'estes equacions.

Per a la llei de Faraday, la teorema de Stokes s'aplica al camp elèctric $𝐄$

${\oint }_{\partial \Sigma }𝐄\cdot d𝐫=\underset{\Sigma }{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\cdot d𝐒$

Per a la llei de Ampère, la teorema de Stokes s'aplica al camp magnètic $𝐁$

${\oint }_{\partial \Sigma }𝐁\cdot d𝐫=\underset{\Sigma }{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\cdot d𝐒$

Vore també

• Teorema de Green
• Teorema de la divergència
• Equacions de Maxwell
• Planímetro