Superfície (matemàtica)

Archiu:Sphere and Ball.png

Una esfera és la superfície d'una bola sòlida, tenint ací ràdio r

En matemàtiques, una superfície és un model matemàtic o artístic del concepte comú de superfície. És una generalisació d'un pla, pero, a diferència d'un pla, pot ser curve; açò és anàlec a una curva que generalisa una llínea recta.

Existixen vàries definicions més precises, depenent del context i de les ferramentes matemàtiques que s'utilisen per al seu estudi. Les superfícies matemàtiques més simples són els plans i les esferas en l'espai euclídeo. La definició exacta d'una superfície pot dependre del context. Típicament, en geometria algebraica, una superfície pot creuar-se a sí mateixa (i pot tindre atres singularitats), mentres que, en topología i geometria diferencial, pugues no fer-ho.

Una superfície és un espai topològic de dimensió dos; açò significa que un punt mòvil en una superfície pot moure's en dos direccions (té dos graus de llibertat). En atres paraules, al voltant de casi tots els punts hi ha una carta local coordenada en la que es definix un sistema de coordenades bidimensional. Per eixemple, la superfície de la Terra s'assembla (idealment) a una esfera bidimensional, i la latitut i la llongitut proporcionen coordenades bidimensionales en ella (llevat en els pols i a lo llarc del meridiano 180).

Definicions

A sovint, una superfície està definida per equacions que se satisfan en les coordenadas dels seus punts. És el cas de la gràfica d'una funció contínua de dos variables. El conjunt dels zeros d'una funció de tres variables és una superfície, que es denomina superfície implícita. Si la funció definitoria de tres variables és un polinomi, la superfície és una superfície algebraica. Per eixemple, l'esfera unitat és una superfície algebraica, ya que pot ser definida per la

$x^2+y^2+z^2-1=0.$

Una superfície també pot definir-se com l'image, en algun espai de dimensió a lo manco 3, d'una funció contínua de dos variables (es requerixen algunes condicions adicionals per a assegurar que l'image no és una curva). En este cas, es diu que es té una superfície paramètrica, que està parametrizada per estes dos variables, cridades paràmetros. Per eixemple, l'esfera unitària pot estar parametrizada pels ànguls de Euler, també cridats llongitut $u$ i latitut $v$ per

$\begin{array}{cc}x& =\cos (u)\cos (v)\\ y& =\sin (u)\cos (v)\\ z& =\sin (v).\end{array}$

Les equacions paramètriques de les superfícies solen ser irregulars en alguns punts. Per eixemple, tots els punts de l'esfera unitària, llevat dos, són l'image, per la parametrización anterior, d'exactament un parell d'ànguls de Euler (mòdul $2\pi$). Per als dos punts restants (el nort i el pol sur), es té $1=\cos v=0$, i la llongitut $u$ pot prendre qualsevol valor.

Ademés, hi ha superfícies per a les que no pot existir una única parametrización que cobrixca tota la superfície. Per lo tant, a sovint es consideren superfícies parametrizadas per vàries equacions paramètriques, les imàgens de les quals cobrixen la superfície. Açò es formalisa en el concepte de varietat: en el context de les varietats, típicament en topología i geometria diferencial, una superfície és una varietat de dimensió dos; açò significa que una superfície és un espai topològic tal que cada punt té un entorn que és homeomorfo a un subconjunt obert del pla euclídeo, vore Superfície (topología) i Superfície (geometria diferencial). Açò permet definir superfícies en espais de dimensió superior a tres, i inclús superfícies abstractes, que no estan contingudes en cap atre espai. Per un atre costat, açò exclou les superfícies que tenen singularitats, com el vèrtiç d'una superfície cònica o els punts a on una superfície es creua a sí mateixa.

En geometria clàssica, una superfície es definix generalment com un lloc geomètric d'un punt o una llínea. Per eixemple, una esfera és el lloc d'un punt que està a una distància determinada d'un punt fix, cridat centre; una superfície cònica és el lloc d'una recta que passa per un punt fix i creua una curva; una superfície de revolució és el lloc d'una curva que gira al voltant d'una recta. Una superfície reglada és el lloc d'una llínea en moviment que satisfà algunes restriccions; en la terminologia moderna, una superfície reglada és una unió de llínees.

Terminologia

En este artícul, varis tipos de superfícies es consideren i es comparen. Per lo tant, és necessària una terminologia sense ambigüitats per a distinguir-les. Per això, cridem superfícies topològiques a les superfícies que són "varietats" de 2 dimensions (les superfícies considerades en superfície (topològica)). Cridem superfícies diferenciables a les superfícies que són "varietats diferenciables" (les superfícies considerades en superfície (geometria diferencial)). Tota superfície diferenciable és una superfície topològica, pero lo contrari és errat.