Model matemàtic

En ciències aplicades i en tecnologia, un model matemàtic és un dels tipos de models científics que ampra algun tipo de formalisme matemàtic per a expressar relacions, proposicions substantives de fets, variables, paràmetros, entitats i relacions entre variables de les operacions, per a estudiar comportaments de sistemes complexos davant situacions difícils d'observar en la realitat. El terme modelisació matemàtica és utilisat també en disseny gràfic quan es parla de models geomètrics dels objectes en dos (2D) o tres dimensions (3D). El significat de model matemàtic en filosofia de la matemàtica i fonaments de la matemàtica és, no obstant, alguna cosa diferent. En concret en eixes àrees es treballa en "models formals". Un model formal per a una certa teoria matemàtica és un conjunt sobre el que s'han definit una série de relacions unarias, binàries i trinarias, que satisfà les proposicions derivades del conjunt d'axiomas de la teoria. La branca de la matemàtica que s'encarrega d'estudiar sistemàticament les propietats dels models és la teoria de models.

Definició, principis i condicions generals

Un model matemàtic d'un objecte (fenomen real) és qualsevol esquema simplificat i idealizado d'aquell, constituït per símbols i operacions (relacions) matemàtiques. Un model matemàtic és un cas de formalisació que ampra els més diversos instruments produïts en la ciència matemàtica.^[1] Ademés un model matemàtic, en general requerix d'una descripció de com els objectes modelizados es representen dins del model i, viceversa, cóm interpreten en térmens d'entitats reals les prediccions del model. cal mencionar solament alguns principis generals i condicions que deuen complir dits models.

Equivalència: que és la correspondència del model al seu original. D'acort, a este principi generals entitats modelisades es correspon en objectes matemàtics del model i viceversa.
Objectivitat: correspondència de les conclusions científiques a les condicions reals.
Simplicitat: els models no deuen estar saturats de factors secundaris.
Sensibilitat: la competència del model de respondre a la variació dels paràmetros inicials.
Estabilitat: a cada destorbament chicotet dels paràmetros inicials li deu correspondre una alteració chicoteta en la solució del problema. Esta condició no seria satisfeta per qualsevol model, ya que en moltes situacions la presència d'un canvi de fase o punt crític altera significativament el comportament a partir de cert punt, per lo que al voltant d'eixe punt deixa de ser cert que variacions chicotetes dels paràmetros inicials produïxquen una alteració chicoteta del resultat.
Universalitat: l'àrea d'aplicació deu ser lo suficientment vasta.^[2]

Classificacions dels models

Es podria dir que un model de les ciències físiques és una traducció de la realitat física d'un sistema físic en térmens matemàtics, és dir, una forma de representar cada u dels tipos d'entitats que intervenen en un cert procés físic per mig d'objectes matemàtics. Les relacions matemàtiques formals entre els objectes del model, deuen representar d'alguna manera les relacions reals existents entre les diferents entitats o aspectes del sistema o objecte real. Aixina una volta "traduït" o "representat" cert problema en forma de model matemàtic, es poden aplicar el càlcul, l'àlgebra i atres ferramentes matemàtiques per a deduir el comportament del sistema baix estudi. Un model físic requerirà per tant que es puga seguir el camí invers al modelació, permetent reinterpretar en la realitat les prediccions del model.

Segons l'informació d'entrada

Sobre la funció de l'orige de l'informació utilisada per a construir els models poden classificar-se d'atres formes. Podem distinguir entre models heurístics i models empírics:

Models heurístics (del grec euriskein 'trobar, inventar'). Són els que estan basats en les explicacions sobre les causes o mecanismes naturals que donen lloc al fenomen estudiat.
Models empírics (del grec empeirikos relatiu a la 'experiència'). Són els que utilisen les observacions directes o els resultats d'experiments del fenomen estudiat.

Segons el tipo de representació

Ademés els models matemàtics troben distintes denominacions en les seues diverses aplicacions. Una possible classificació pot atendre a si pretenen fer prediccions de tipo qualitatiu o pretén quantificar aspectes del sistema que s'està modelizando:

Models qualitatius o conceptuals, estos poden usar figures, gràfics o descripcions causals, en general s'acontenten en predir si l'estat del sistema anirà en determinada direcció o si aumentarà o disminuirà alguna magnitut, sense importar exactament la magnitut concreta de la majoria d'aspectes.
Models quantitatius o numèrics, usen números per a representar aspectes del sistema modelizado, i generalment inclouen fòrmules i algoritmes matemàtics més o menys complexos que relacionen els valors numèrics. El càlcul en els mateixos permet representar el procés físic o els canvis quantitatius del sistema modelat.

Segons la aleatoriedad

Una atra classificació independent de l'anterior, segons si a una entrada o situació inicial concreta poden correspondre o no diverses eixides o resultats, en este cas els models es classifiquen en:

Determinista. Es coneix de manera puntuala forma del resultat, ya que no hi ha incertitut. Ademés, les senyes utilisades per a alimentar el model són completament coneguts i determinats.
Estocàstic. Provabilístic, que no es coneix el resultat esperat, sino la seua provabilitat i existix per tant incertitut.

Classificació segons la seua aplicació o objectiu

Pel seu us solen utilisar-se en les següents tres àrees, no obstant, existixen moltes atres com la de finances, ciències, etc.

Model de simulació o descriptiu, de situacions mesurables de manera precisa o aleatòria, per eixemple en aspectes de programació llineal quan és de manera precisa, i provabilística o heurística quan és aleatori. Este tipo de models pretén predir qué succeïx en una situació concreta donada.
Model d'optimisació. Per a determinar el punt exacte per a resoldre alguna problemàtica administrativa, de producció, o qualsevol atra situació. Quan l'optimisació és sancera o no llineal, combinada, es referix a models matemàtics poc predibles, pero que poden acoplar-se a alguna alternativa existent i aproximada en la seua quantificació. Este tipo de models requerix comparar diverses condicions, casos o possibles valors d'un paràmetro i vore com d'ells resulta òptim segons el criteri elegit.
Model de control. Per a saber en precisió cóm està alguna cosa en una organisació, investigació, àrea d'operació, etc. Este model pretén ajudar a decidir qué noves mides, variables o quins paràmetros deuen ajustar-se per a conseguir un resultat o estat concret del sistema modelat.

Eixemples

Un model mixt operacional estadístic és una teoria o situació causal de fets i expressat en símbols de format matemàtic. Per eixemple les taules de contingència. De fet els models matemàtics es construïxen en varis nivells de significació i en diferents variables. Kendall i Buckland cataloguen fins a 40 tipos diferents de models matemàtics. Eixemples: Rapoport en model matemàtic i interacció social en 1961 i Bugeda en Sociologia matemàtica en 1970. Per un principi d'isomorfisme hi ha una equivalència, a conseguir, entre un model i una teoria. Ademés teoria i model són sinònims.

Eixemples de models per tipos

Si s'ampra la classificació de models segons la seua aplicació o objectiu (models descriptius o de simulació, models d'optimación o elecció d'òptim, models de control o tractament) i segons si es tracta de models determistas o provabilistes es poden donar alguns eixemples ilustratius:

	Descriptius / Simulació		Optimisació / Elecció		Control / Tractament
	Determinista	Provabiliste	Determinista	Provabiliste	Determinista	Provabiliste
Quantitatiu / Numèric	Càlculs astronòmics	Simulacions de tràfic	Càlcul components de sistemes	Disseny ingenieril	Control automàtic	ControlCG
Qualitatiu / Conceptual	Anàlisis microeconómicos	Teoria de jocs	Models de grafo/fluix	?	Teoria sicològica	?

Model matemàtic de simulació hidrològica

S'utilisen per a estudiar situacions extremes, difícilment observables en la realitat, com per eixemple els efectes de precipitacions molt intenses i prolongades en conques hidrogràfiques, en el seu estat natural, o en les que s'ha intervingut en obres com a canals, represas, dics de contenció, ponts, etc. La conca hidrogràfica és dividida en subcuencas considerades homogénees des del punt de vista: del tipo de sol, de la declividad, de la seua cobertura vegetal. El número i tipo de les variables hidrològiques que intervenen en el model són funció d'objectiu específic per al qual s'elabora el mateix.

Fases de construcció d'un model

En molts casos la construcció o creació de models matemàtics útils seguix una série de fases ben determinades:

Identificació d'un problema o situació complexa que necessita ser simulada, optimisada o controlada i per tant requeriria un model matemàtic predictiu per a fer efectiu el mateix
Elecció del tipo de model, açò requerix precisar qué tipo de resposta pretén obtindre's, cuals són les senyes d'entrada o factors rellevants, i per a qué pretén usar-se el model. Esta elecció deu ser suficientment simple com per a permetre un tractament matemàtic assequible en els recursos disponibles. Esta fase requerix ademés identificar el major número de senyes fidedignes, rotular i classificar les incògnites (variables independents i depenents) i establir consideracions físiques, químiques, geomètriques, etc., que representen adequadament el fenomen en estudi.
Formalisació del model en la que es detallaran qué forma tenen les senyes d'entrada, quin tipo de ferramenta matemàtica s'usarà, com s'adapten a l'informació prèvia existent. També podria incloure la confecció d'algoritmes, ensamblage d'archius informàtics, etc. En esta fase possiblement s'introduïxquen també simplificació suficients per a que el problema matemàtic de modelisació siga tractable computacionalment.
Comparació de resultats: els resultats obtinguts com a prediccions necessiten ser comparats en els fets observats per a vore si el model està predient be. Si els resultats no s'ajusten be, és comú tornar a la fase 1. És important mencionar que l'immensa majoria dels models matemàtics no són exactes i tenen un alt grau d'idealisació i simplificació, ya que una modelisació molt exacta pot ser més complicada de tractar que una simplificació convenient, i per lo tant resultar menys útil. També és important recordar que el mecanisme en el que es desenrolla un model matemàtic repercutix en el desenroll d'atres tècniques de coneiximents enfocades a l'àrea sociocultural.

Vore també

Referències

↑ A. K. Guts, Yu. V. Frolova, L. A. Páutova Métodos matemàtics en la sociologia Editorial URSS Moscou (2013)
↑ Guts i atres Op. cit.

Bibliografia

Enllaços externs

Este artícul conté una traducció derivada de «Modelo matemático» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] A. K. Guts, Yu. V. Frolova, L. A. Páutova Métodos matemàtics en la sociologia Editorial URSS Moscou (2013)

[2] Guts i atres Op. cit.

[1]

[2]