Teoria de la singularitat

En matemàtiques, la teoria de la singularitat estudia espais que són casi múltipliegues o varietat, pero no lo suficient. Una cuerdo pot servir com un eixemple d'un multipliegue unidimensional, si un desatén la seua gruixa. Es pot fer una singularitat, convertint-la en una bola, deixant-la caure al sol i aplanándola. En alguns llocs, la cuerdo aplanada tindrà aproximadament una forma de "X". Els punts en el sol a on fa açò, són una espècie de singularitat, coneguda com el punt doble: un tros de sol es correspon en més d'un tros de corda. Potser la pròpia corda també es tocarà sense creuar-se, com una "O" subrallada . Eixa és una atra classe de singularitat. A diferència del punt doble, no és estable, en el sentit de que una chicoteta espenta farà ascendir el fondo de la "O" fòra de el "subrallat".

Vladimir Arnold definix l'objectiu principal de la teoria de singularitat, descrivint cóm els objectes depenen de paràmetros, particularment en casos a on les propietats experimenten canvis repentins, baixe una variació chicoteta dels paràmetros. Estes situacions es denominen forcalls o catàstrofe. El classificar els tipos de canvis i caracterisar els conjunts de paràmetros que aumenten estos canvis, són alguns dels objectius matemàtics principals. Un eixemple senzill, podria ser l'esbós o silueta d'un objecte pla, com un fesol de renyó. Des d'alguns ànguls, la silueta és una curva plana, pero quan es trencada l'objecte, l'esbós primer formarà un cantó agut i després una auto-intersecció en cims. Les singularitats poden ocórrer en una gama àmplia d'objectes matemàtics, des de les matrius que depenen de paràmetros, als fronts d'ones.

Cóm poden sorgir les singularitats

En la teoria de la singularitat, s'estudia el fenomen general dels punts i els conjunts de singularitats, quan part del concepte de que els multipliegue o colectors (espais sense singularitats) poden adquirir punts especials, singulars, per un número de rutes. La proyecció és una manera, molt òbvia en térmens visuals, quàn els objectes tridimensionals es proyecten a dos dimensions (per eixemple en un dels nostres ulls); el mirar els plecs de les teles d'un clàssic estatutari, es troba entre les característiques més òbvies. Les singularitats d'esta classe inclouen la càustica, molt familiar quan la llum fa patrons en el fondo d'una piscina.

Atres maneres en les que ocorren les singularitats, és per degeneració d'una estructura colector o multipliegue. La presència de simetria pot ser una bona causa per a considerar orbidades o orbipliegues, que són multipliegues que han adquirit "cantons", en un procés de plegat, semblant-se a l'arrugat d'una torcaboca de taula.

Vore també

• Posició general
• Contacte (matemàtiques)
• Funció circular

Bibliografia

• V.I. Arnold (1992). Catastrophe Theory, Springer-Verlag. ISBN 978-3540548119.

• E. Brieskorn (1986). Plane Algebraic Curves, Birkhauser-Verlag. ISBN 978-3764317690.

Referències