Teoria de les catàstrofe

La teoria de les catàstrofe és una branca d'estudi de les forcalls de sistemes dinàmics, també pot considerar-se un cas especial de la teoria de la singularitat usada en geometria. La teoria de catàstrofe resulta especialment útil per a l'estudi de sistemes dinàmics que representen fenomens naturals i que per les seues característiques no poden ser descrits de manera exacta pel càlcul diferencial. En eixe sentit, és un model matemàtic de la morfogénesis. Plantejada a finals de la década de 1950 pel matemàtic francés René Thom —especialisat en topología diferencial— i molt difosa a partir de 1968, en la década de 1970 va tindre gran auge, en ser impulsada pels estudis de Christopher Zeeman.
Té una especial aplicació en l'anàlisis del comportament competitiu i en els models de canvi organisatiu, evolució social, sistémica i mítica.

Bàsicament la teoria de les catàstrofe representa el clim dels sistemes estructuralment estables a manifestar discontinuidad (poden produir-se canvis repentins del comportament o dels resultats), divergència (tendència de les chicotetes divergències a crear grans divergències) i histéresis (l'estat depén de la seua història prèvia, pero si els comportaments s'invertixen, conduïxen llavors a que no es torne a la situació inicial). Les seues aplicacions són en principi la de simulacions d'objectes naturals, de tal forma que s'utilisa en geologia, en mecànica, en hidrodinàmica, en òptica geomètrica, en fisiologia, en biologia, en llingüística, en direcció estratègica i en sociologia. Erik Christopher Zeeman ha generat gran controvèrsia en considerar la seua aplicació en les ciències humanes.

La teoria de les catàstrofe compartix àmbit en la teoria del caos i en la teoria dels sistemes disipativos desenrollada per Ilya Prigogine.

Característiques

Discontinuidad

La discontinuidad implica que poden produir-se canvis repentins del comportament o dels resultats. Aixina en aplegar a cert punt no és ya possible seguir mantenint-se en el mateix estat, i se sofrix un brusc canvi.

Divergència

La divergència és la tendència de les chicotetes divergències a crear grans divergències. Per eixemple, siga una companyia aérea obligada a satisfer tota la demanda de passagers. Si l'avió habitual té una capacitat de 100 passagers, una demanda de 101 motivarà la necessitat d'utilisar un avió major, inclús la d'aterrisar en un aeroport distint. En poques paraules, variacions molt chicotetes del punt inicial de partida deriven cap a resultats totalment alluntats.

Histéresis

L'histéresis és l'estat que depén de la seua història prèvia pero si els comportaments s'invertixen conduïxen a que no es torne a la situació inicial. En definitiva, que un sistema mantinga una de les seues propietats en absència de l'estímul que l'ha generat. La teoria de les catàstrofe supon el costat opost a lo que en Termodinàmica es diu “procés reversible”, és dir, aquell que ve determinat unívocament en funció d'una série de valors de control o variables independents. Un eixemple molt simple d'un procés d'este tipo unívoc és la llongitut d'una vareta metàlica en funció de la temperatura. A cada valor T d'esta correspon un atre L de la llongitut, de manera que L = f(T). El procés està definit en qualsevol sentit, en temperatures ascendents i descendents, i no depén, per eixemple, de la velocitat en que varia la temperatura. A cada valor d'esta correspon unívocament un de la llongitut. Pero atres processos es comporten de forma distinta. Per eixemple, si se supera certa temperatura la vareta metàlica es derretirá, desprenent-se un tros, en el cas del qual, serà impossible tornar a l'inici.

En matemàtiques

Una catàstrofe elemental de tipo plegue: que té una branca estable i una atra inestable abdós s'unixen el punt de forcall.

Diagrama d'una catàstrofe elemental de tipo cim, la figura mostra dos curves (marró, roig) de x que satisfan dV/dx = 0 per als paràmetros (a,b), dibuixats en el paràmetro b variant àmpliament, per a molts valors del paràmetro a.

La teoria de les catàstrofe pot ser entesa com una branca de la teoria del forcall, dedicada a l'estudi de sistemes dinàmics. Resulta, aixina mateix, un cas particular d'un modo més general de la teoria de la singularitat, i el seu nexe en l'equilibri estable fa que es puga considerar relacionada en una funció de Lyapunov.

Una premissa de la teoria de les catàstrofe és que, a partir del model dinàmic continu més simple, es podria generar una morfologia matemàtica que done conte empírica dels fenomens considerats discontinus. S'ha intentat aplicar la teoria de les catàstrofe en biologia, en psicologia i en sociologia i inclús en economia, encara que l'extrapolació a tals disciplines és poc acceptada, per ser considerada poc pràctica. Un eixemple de catàstrofe és quan un metal es trenca a elevada temperatura.

Més precisament, es tracta d'estudiar cualitativamente les solucions de les equacions, segons el número de paràmetros que estes contenen. El terme catàstrofe designa el lloc a on una funció canvia bruscament de forma o configuració.

Un aspecte interessant de la teoria de les catàstrofe es troba en el contrast en el tractament usual de les equacions diferencials, en tindre en conte les funcions corresponents a les singularitats, és dir, les variacions instantànees.

Thom ha sugerit l'ocupació de la teoria topològica dels sistemes dinàmics a partir dels estudis efectuats per Henri Poincaré, per a modelizar les mutacions, crisis o discontinuidades que es presenten en certa freqüència en els fenomens naturals, notòriament en biologia.

Eixemples significatius de canvis imprevists causats per chicotetes alteracions dels paràmetros d'un sistema són les transicions de fase, els seismes els colapses estructurals i, es considera inclús les solsides en els mercats financers encara que tals extrapolacions poden aplegar a ser exagerades.

Thom, entre uns atres, ha evidenciat l'importància de la estabilitat estructural , entesa com "insensibilidad del sistema a chicotets destorbament", resaltant el fet de que tal requisit implica que el sistema mateix pot ser descrit localment en sèt formes estàndar, les cridades catàstrofe elementals.

En el llenguage matemàtic, una "catàstrofe" és un punt crític (o estacionario o singular) devingut en anómal (o irregular) d'una superfície plana (o derivable) que es troba definida en un espai euclídeo de n dimensions; en quant tals punts corresponen a forcalls radicals en el comportament del sistema. Per eixemple en el cas n=2 és fàcil demostrar que, per a les curves planes existixen solament tres tipologies de punts crítics, és dir els punts de màxim local i mínim local i els punts de flexión o inflexió: mentres els extrems locals representen punts crítics no anómals, els de flexión són en canvi punts anómals i per açò representen catàstrofe matemàtiques.

Este modo d'aproximació a l'anàlisis dels fenomens complexos es basa en una constatació teòrica rellevant, per eixemple en l'experiència en un recipient continent de diverses substàncies químiques: en un temps relativament breu s'aplega a equilibris dinàmics que depenen de les condicions inicials del preparat, per al qual per eixemple, segons les dosis inicials els possibles dominis d'equilibri poden ser 2.

Aixina, clarament despuix d'una condició inicial que du a l'equilibri 1, i aquella que du a l'equilibri 2, existixen condicions inicials (inestables) para les quals no resulta possible prevore si el resultat serà 1 o serà 2, en estos casos es diu que el sistema està en "condicions catastròfiques" en el sentit de que una chicoteta variació de les concentracions inicials en una direcció o en una atra pot comportar fortes diferències sobre els resultats finals. El descobriment de Thom ací consistix que els punts d'inestabilitat o crítics no estan subjectes a configuracions caòtiques sino subjectes a formas topològiques estables i repetibles que, per una atra part, són aixina mateix independents del substrat en el sentit que les formes d'estabilitat del caos són independents del fenomen analisat (siga físic, químic, històric, sicològic etc.).

Requisits

Teorema de la classificació

La conclusió més coneguda obtinguda per Thom és que existixen 7 formes possibles de "catàstrofe" per a totes les equacions que tinguen més de quatre paràmetros. Cada una d'estes formes rep el nom en relació en la seua forma "elemental":

Catàstrofe elementals (el nom els ha segut donat pel mateix R. Thom):

• el plec o flexión (per a un paràmetro en entrada i un en eixida) : $y=x^3+ax$;
• frunzit o cim (per a dos paràmetros) : $y=x^4+a{x}^2+bx$;
• la coa de milano : $y=x^5+a{x}^3+b{x}^2+cx$;
• el melic hiperbòlic ("l'ona" o "portafolios") : $z=x^3+y^3+axy+bx+cy$;
• el melic elíptic ("el pèl" o piràmide") : $z=x^3/3-x{y}^2+a(x^2+y^2)+bx+cy$;
• la palometa : $y=x^6+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx$, i
• el melic parabòlic ("el fongo") : $z=x^{2}y+y^4+a{x}^2+b{y}^2+cx+dy$.

En més de 5 paràmetros, existixen 11 formes de "catàstrofe". Quan són 6 o més paràmetros, la classificació de les catàstrofe devé infinita, en una infinitat de 'mòduls'.

Notació de Arnol'd

Per l'íntima relació en els grups de Lie simples, Vladimir Arnol'd va donar a la teoria de les catàstrofe una classificació ADE:

• A₀ - un punt no singular: $V=x$.
• A₁ - un punt local extrem, ya siga estable mínim o inestable màxim $V=\pm x^2+ax$.
• A₂ - la tapa o portafolios.
• A₃ - el cim.
• A₄ - la coa curva.
• A₅ - la palometa.
• A_k - una seqüència infinita d'una forma variable $V=x^{k+1}+\cdots$.
• D₄^- - el melic elíptic.
• D₄⁺ - el melic hiperbòlic .
• D₅ - el melic parabòlic.
• D_k - una seqüència infinita de noves formes umbilicals.
• I₆ - el melic simbòlic $V=x^3+y^4+ax{y}^2+bxy+cx+dy+e{y}^2$.
• I₇.
• I₈.

Existixen objectes en la teoria de la singularitat que corresponen a la majoria dels atres grups simples de Lie.

Vore també

• autoorganisació
• caos
• dinàmica de sistemes
• E8 (matemàtiques)
• efecte bola de neu
• efecte va dominar
• efecte palometa
• teoria del caos
• René Thom
• transició de fase

Referències

Bibliografia

• René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, París, 1977.
• Vladimir Arnol'd. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992. (en anglés)

Enllaços externs

• La Recherche N° 81 Septembre 1977, Volume 8, Pages 745-754 (Ivar Ekeland) este artícul didàctic conté les figures, no obstant posseiria un lapsus a partir de l'artícul de Ekeland : la classificació de les catàstrofe elementals és definida (en 11 formes com s'indica) quan 5 paràmetros estan presents. D'esta manera la teorema de Thom cariria d'una explicació possible en el nostre espai-temps de tres dimensions espacials i una temporal.
• L'origine i il significato della teoria delle catastrofi/L'orige i el significat de la teoria de les catàstrofe (en italià)
• Ernesto Salinelli: La Teoria delle catastrofi (en italià)
• Llunt de l'equilibri: sinergética, autoorganisació i teoria de catàstrofe
• Miguel ESPINOZA,«René Thom: De la Teoria de les Catàstrofe a la Metafísica», Thémata, 14: 321-348 (1995). https://www.academia.edu/32934825/René_Thom_de_la_Teoria_de_les_Catàstrofe_a_la_metafísica