Forcall (matemàtica)

La teoria de forcalls és un camp matemàtic centrat en l'estudi dels canvis en l'estructura qualitativa o topològica del comportament d'un conjunt d'equacions. La teoria té una importància pràctica molt important en ingenieria i física.

La teoria del forcall estudia el comportament de famílies de solucions matemàtiques, com per eixemple les curves integrals d'un camp vectorial, i les solucions d'una família d'equacions diferencials. Generalment en referència a sistemes dinàmics, un forcall es dona quan una chicoteta variació en els valors dels paràmetros d'un sistema (paràmetros de forcall) causa un brusc canvi "qualitatiu" o topològic en el seu comportament. Els forcalls poden produir-se tant en sistemes continus com en sistemes discrets.

Tipos de forcalls

Forcalls locals

Archiu:Saddlenode.gif

Retrat de fase que mostra un forcall fold.

Els forcalls locals són aquelles que poden ser analisades completament per mig de canvis en les propietats de l'estabilitat local —ben siguen estes de punts d'equilibri, òrbites locals o atres conjunts invariantes— conforme els paràmetros travessen llindars crítics. Els forcalls locals més típiques són:

• Forcall tangencial o fold
• Forcall fitora o pitchfork
• Forcall transcrítica
• Forcall de Hopf

Estos diferents tipos de forcalls locals possibles són punts crítics d'un sistema el comportament específic del qual depén de les derivades superiors de dit sistema. De fet els tipos de comportaments qualitatius del sistema en punts no ordinaris poden classificar-se en funció del valor d'eixes derivades. Donat un sistema no llineal d'equacions de la forma:

A on:

$𝐮$ és la variable d'estat.

$\varphi$ és el paràmetro crític que controla l'aparició del forcall.

$𝐯$ és un conjunt de paràmetros que controlen el tipo de forcall que es produïx.

Un punt de forcall és un punt crític $({𝐮}_c,{\varphi }_c,𝐯)$ del sistema anterior, que complix algunes condicions adicionals, per a formular eixes condicions es construïx la forma reduïda de Liapunov-Schmidt-Koiter $\tilde{F}$ del sistema anterior:

Un punt de cadira de montar, també cridat punt de tornada, punt llímit o "forcall" tangencial. És un punt crític a on:

Un punt de forcall pròpiament dit és un punt crític a on es complix que:

Els forcalls poden classificar-se en térmens de les derivades superiors:

Forcalls globals

Els forcalls globals ocorren normalment en majors conjunts invariantes del sistema, els quals "colisionen" entre ells o en els punts d'equilibri del sistema. Per tant, no poden ser detectats de forma exclusiva per mig d'un anàlisis dels punts d'equilibri.

Els forcalls globals més típiques són:

• Forcall homoclínica
• Forcall heteroclínica
• Forcall de periodo infinit

Vore també

• Diagrama de forcall
• Teoria de catàstrofe

Referències

Bibliografia

• Henri Poincaré (1885): "L'Équilibre d'unix masse fluide animée d'un mouvement de rotation", Acta Mathematica, t.7, pp. 259-380, sept 1885.
• Founargiotakis, M.; Farantos, S. C.; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). "Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2". Chemical Physics Letters 277 (5–6): 456–464. Bibcode 1997CPL...277..456F. doi:10.1016/S0009-2614(97)00931-7.

Guàrdia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, M. A. (2011). Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov Systems. "Journal of differential equations", Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, pp. 1967-2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016

• Koiter, W. T. (1945) On the stability of Elastic Equilibrium. Disertation. Delft, Holanda. (English translation: NASA Technical Translation F10: 833, 1967).
• Koiter, W. T. (1976) "Current trends in the theory of buckling", Buckling of Structures. Proceedings of the IUTAM Symposium at Cambridge, pp. 1-16. Springer-Verlag, Berlín.

Enllaços externs

• (en anglés) Sistemes dinàmics no llineals