Curva integral d'un camp vectorial

Archiu:Slope Field.png

Curva integral d'un camp vectorial

En matemàtiques, una curva integral d'un camp vectorial és l'anàlec abstracte de la llínea de corrent en el fluix d'un decorregut. En física quan el camp en qüestió representa un camp de forces les curves integrals corresponen a les llínees de força.

Definició

Donat un camp vectorial $𝐕(x)$ definit en algun conjunt obert A en l'espai euclídeo, o més generalment en una varietat diferenciable $ℳ$, una curva integral $C(t)$ de $𝐕$ en un punt donat P de $ℳ$ és la curva en $ℳ$ definida en un cert interval [-a, a] en 0 < a, tal que

i tal que la derivada:

Esta última condició en la derivada equival a que el vector tangente a la curva C siga precisament el vector donat per V.

Propietats

Ademés el conjunt de curves integrals d'una regió constituïx una foliación unidimensional de dita regió. Això implica que donat un punt d'eixa regió a on el camp no siga nul, per eixe punt passa una i només una curva integral.

Eixes propietats de les curves integrals, fan possible visualisar un camp vectorial com donant lloc a un fluix en M, en cada punt movent-se en la direcció vectorial donada per V, i en una taxa proporcional a la seua llongitut. Si V té un zero en un punt Q, llavors Q serà immòvil (és dir la curva constant a Q serà la curva integral). Açò és un fluix 'estacionario' (independent del temps); com un model d'una equació diferencial ordinària, este és el més simple possible, i les representacions del espai de fase s'utilisen a sovint per a construir tal camp vectorial auxiliar.

Des d'un punt de vista matemàtic, pot haver problemes en estendre una curva integral per a tindre com a domini el conjunt de la recta dels número real. El fluix pot per eixemple alcançar la vora de M en un temps finito. Els usos típics són el fluix geodèsic, i subgrups uniparamétricos i funció exponencial en grups de Lie.