Foliación

En matemàtiques, una foliación és una partició en subvariedades diferenciables d'una atra varietat diferenciable (de tal modo que totes les subvariedades que conformen la foliación són de la mateixa dimensió m, sent m menor que la dimensió de la varietat original).

Intuitivamente una foliación és com un conjunt de corts o lonchas fines de la varietat original en peces de la mateixa dimensió. Per eixemple es pot foliar espai euclídeo tridimensional considerant que es tracta d'un apilamiento d'infinits plans euclídeos un damunt d'un atre. Quan una varietat admet una foliación llavors localment té una estructura topològica de varietat producte.

Definició

Més formalment, una foliación F de dimensió p o foliación p-dimensional d'una varietat M és un recobriment topològic, format per conjunts O_i i equipat ademés en aplicacions:

${\varphi }_i:U_i\to {ℝ}^n$

tal que en els solapes $U_i\cap U_j$ les funcions ${\phi }_{ij}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ definides per mig de:

${\phi }_{ij}={\varphi }_j{\varphi }_i^{-1}$

tenen la forma:

${\phi }_{ij}(x,y)=({\phi }_{ij}^1(x),{\phi }_{ij}^2(x,y))$

A on $x$ denota les primeres $n-p$ coordenades, i $y$ denota les últimes p coordenades. És dir,

${\phi }_{ij}^1:{ℝ}^{n-p}\to {ℝ}^{n-p}$

i

${\phi }_{ij}^2:{ℝ}^n\to {ℝ}^p$.

Definició: Una foliación $p$-dimensional, d'una varietat $M$ $n$-dimensional és una descomposició de $M$ en l'unió de subvariedades disjuntas $L_{\alpha }$, cridades fulls de la foliación, en la següent propietat: cada punt en $M$ té un entorn obert $U$ en coordenades locals $(x_1,\dots ,x_n):U⟶ℝ$, tal que, per a cada full $L_{\alpha }$ es té $U\cap L_{\alpha }=\{x\in U:x_{p+1}=\text{constante},\dots ,x_n=\text{constante}\}$.

Sean $M$ i $N$ varietats de dimensions $n$ i $q$, respectivament, en $q\le n$, i $f:M⟶N$ una submersión. Pel Teorema de la funció implícita se seguix que $f$ induïx una foliación en $M$ de dimensió $n-q$, a on els fulls de la foliación vénen definides per $f^{-1}(x)$ per a cada $x\in N$.

Eixemples

Espai euclídeo

Considerem un espai $n$-dimensional i la foliación formada pel producte de subespacios formats pels punts que les seues $n-p$ primeres coordenades són constants. És dir, :${ℝ}^n={ℝ}^{n-p}\times {ℝ}^p$ i els fulls són els espais $p$-dimensionals enumerats pels distints valors possibles de les $n-p$ primeres coordenades.

Per eixemple, per a $n=3$ i $p=2$, s'obté la descomposició de ${ℝ}^3$ en els fulls $\{x\}\times {ℝ}^2$, sent $x$ un número real.

Submersiones

Considerem $M={ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}$. La funció $f:M⟶ℝ,f(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2$ és una submersión.

Llavors hi ha una foliación en $M$ induïda per $f$, els fulls de la qual són $L_{\lambda }=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:f(x,y,z)=\lambda \}$, en $\lambda \in ℝ$.

Un atre eixemple de foliación, a partir d'una submersión, molt conegut és la Fibración de Hopf.

Cobertes

Si $M\to N$ és una aplicació contínua i exhaustiva entre varietats i $F$ és una foliación sobre $N$, llavors l'aplicació anterior induïx una foliación sobre $M$(pull-back de l'aplicació anterior).

Vore també

• G-structura
• Foliación de Reeb
• foliación de Taut
• Teorema del full compacte de Novikov
• Fibración de Hopf

Referències

• (1974).«Foliations».Bulletin of the American Mathematical Society.80(3)

369–418.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0002-9904-1974-13432-4.