Geometria diferencial de curves

En matemàtiques, la geometria diferencial de curves propon definicions i métodos per a analisar curvas simples en Varietats de Riemann, i en particular, en l'Espai Euclídeo.

Llongitut d'arc

Artícul principal → Llongitut d'arc.

Donada una curva suficientment suau (diferenciable i de classe $C^2(\mathrm{I})$), en ${ℝ}^3$ i donat el seu vector de posició $𝐫(t)$ expressat per mig del paràmetro t;

$𝐫(t)=x(t)𝐢+y(t)𝐣+z(t)𝐤t\in [a,b]$

es definix el cridat paràmetro d'arc s com:

$s=\varphi (t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{{[x^{\prime }(\tau )]}^2+{[y^{\prime }(\tau )]}^2+{[z^{\prime }(\tau )]}^2}d\tau$

La qual es pot expressar també de la següent forma en la qual resulta més fàcil de recordar

$s=\varphi (t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\Vert {𝐫}^{\prime }(\tau )\Vert d\tau$

La qual cosa permet reparametrizar la curva de la següent manera:

$\widetilde{𝐫}(s)=(\tilde{x}(s),\tilde{y}(s),\tilde{z}(s))$

a on

$\tilde{x}(\varphi (t))=x(t),\tilde{y}(\varphi (t))=y(t),\tilde{z}(\varphi (t))=z(t)$

són les relacions entre les dos parametrización.

Vectores tangente, normal i binormal: Triedro de Frênet-Serret

Vore també: Fòrmules de Frenet-Serret

Archiu:Frenet trihedron.svg

Vista esquemàtica de el vector tangente, vector normal i vector binormal d'una curva hèliç.

Archiu:Frenet-Serret-frame helix around torus.gif

Triedro de Frenet-Serret. Hèliç al voltant d'un bou.

Donada una curva parametrizada r(t) segons un paràmetro qualsevol t es definix el cridat vector tangente, normal i binormal com:

$𝐓(t)=𝐍(t)\times 𝐁(t)$ o be $𝐓(t)=\frac{{𝐫}^{\prime }(t)}{\Vert {𝐫}^{\prime }(t)\Vert }$

$𝐁(t)=𝐓(t)\times 𝐍(t)$ o be $𝐁(t)=\frac{{𝐫}^{\prime }(t)\times {𝐫}^{″}(t)}{\Vert {𝐫}^{\prime }(t)\times {𝐫}^{″}(t)\Vert }$

$𝐍(t)=𝐁(t)\times 𝐓(t)$ o be $𝐍(t)=\frac{[{𝐫}^{\prime }(t)\times {𝐫}^{″}(t)]\times {𝐫}^{\prime }(t)}{\Vert [{𝐫}^{\prime }(t)\times {𝐫}^{″}(t)]\times {𝐫}^{\prime }(t)\Vert }$

Estos tres vectores són unitaris i perpendicular entre sí, junts configuren un sistema de referència mòvil conegut com Triedro de Frênet-Serret a raïl de l'estudi de Jean Frenet i Joseph Serret. És interessant que per a una partícula física desplaçant-se en l'espai, el vector tangente és paralel a la velocitat, mentres que el vector normal dona el canvi direcció per unitat de temps de la velocitat o acceleració normal.

Si la curva està parametrizada segons la llongitut d'arc, com es va explicar en la secció anterior les fòrmules anteriors poden simplificar-se notablement:

A on els paràmetros χ i τ anteriors designen respectivament a la curvatura i a la torsió.

Vore també

• Geometria diferencial de superfícies

Referències

Bibliografia

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enllaços externs

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.