Fòrmules de Frenet-Serret

Archiu:Frenet.svg

Una curva alabeada; els vectores T, N i B ; i el pla osculador travessat per T i N

En geometria diferencial, les fòrmules de Frenet-Serret descriuen les propietats cinemàtiques d'una partícula que es mou a lo llarc d'una curva diferenciable en l'espai euclídeo tridimensional ${ℝ}^3$, o les propietats geomètriques de la pròpia curva mòdul desplaçaments de la mateixa. Més específicament, les fòrmules descriuen les derivades de cada vector unitari del triedro de Frenet-Serret en térmens dels atres dos. Les fòrmules duen el nom dels dos matemàtics francesos que les varen descobrir de forma independent: Jean Frédéric Frenet, en la seua tesis de 1847, i Joseph Alfred Serret, en 1851. La notació vectorial i l'àlgebra llineal que s'ampren actualment per a escriure estes fòrmules encara no estaven disponibles en el moment del seu descobriment.

En cada punt d'una curva diferenciable, el triedro de Frenet-Serret és una base ortonormal de ${ℝ}^3$ formada pels següents vectores:

• T és el vector unitari tangente a la curva, apuntant en la direcció del moviment.
• N és el vector unitari normal, en el sentit de la derivada de T con respecto de el paràmetro llongitut d'arc.
• B és el vector unitari binormal, el producte vectorial de T i N.

Les fòrmules de Frenet-Serret són:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}& =\kappa 𝐍,\\ \frac{\mathrm{d}𝐍}{\mathrm{d}s}& =-\kappa 𝐓+\tau 𝐁,\\ \frac{\mathrm{d}𝐁}{\mathrm{d}s}& =-\tau 𝐍,\end{array}$

a on d/ds denota la derivada sobre el paràmetro llongitut de l'arc, κ és la curvatura i τ és la torsió de la curva, dos magnituts escalares. Intuitivament, la curvatura medix lo que dista una curva de ser una llínea recta, mentres que la torsió medix lo que dista una curva de ser plana.

Enunciat

Archiu:FrenetTN.svg

Els vectores T i N en dos punts d'una curva plana, una versió desplaçada del segon diedro (punteado) i el canvi en T, δT. Si δs és la distància entre els punts, en el llímit $\frac{d𝐓}{ds}$ apuntarà en la direcció N i la seua magnitut —la curvatura— descriu la velocitat de rotació del diedro.

Siga r(s) una curva en l'espai euclídeo, que representa el vector de posició de la partícula en funció del temps. Les fòrmules de Frenet-Serret s'apliquen a curves que no són degeneradas, és dir, que es curven en tot punt. Més formalment, es requerix que el vector de velocitat r'(s) i el vector d'acceleració r''(s) no siguen proporcionals.

Ademés, es pot supondre que la curva està parametrizada per l'arc (és dir, que $\Vert r^{\prime }(s)\Vert =1$ per a tot s), ya que qualsevol parametrización de la curva dona la mateixa curvatura en cada punt.

En estes condicions, el triedro de Frenet-Serret (o TNB) es definix com:

• El vector unitari tangente T en una parametrización per l'arc es definix com $$𝐓:=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}s}.$$
• El vector unitari normal N a la seua volta es definix com $$𝐍:=\frac{\frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}}{\Vert \frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}\Vert },$$d'a on se seguix, ya que la llongitut de T és constantment 1, que N és perpendicular a T. Com $\kappa =\Vert \frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}\Vert$, obtenim la primera fòrmula de Frenet-Serret.

• El vector unitari binormal B es definix com el producte vectorial de T i N : $$𝐁:=𝐓\times 𝐍,$$

Archiu:Frenetframehelix.gif

El triedro de Frenet-Serret movent-se a lo llarc d'una hèliç . La T està representada per la flecha blava, la N per la flecha roja, i la B per la flecha negra.

Les fòrmules de Frenet-Serret (o Teorema de Frenet-Serret) són:

$\begin{array}{ccccc}\frac{\mathrm{d}𝐓}{\mathrm{d}s}& =& & \kappa 𝐍& \\ & \\ \frac{\mathrm{d}𝐍}{\mathrm{d}s}& =& -\kappa 𝐓& & +\tau 𝐁\\ & \\ \frac{\mathrm{d}𝐁}{\mathrm{d}s}& =& & -\tau 𝐍& \end{array}$

a on $\kappa$ és la curvatura i $\tau$ és la torsió.

O, en notació matricial:

$\left[\begin{array}{c}{𝐓}^{\prime }\\ {𝐍}^{\prime }\\ {𝐁}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa & 0\\ -\kappa & 0& \tau \\ 0& -\tau & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐍\\ 𝐁\end{array}\right].$

Esta matriu és antisimètrica .

Fòrmules en n dimensions

Les fòrmules de Frenet-Serret varen ser generalisades a espais euclídeos de dimensió superior per Camille Jordan en 1874.

Supongam que r(s) és una curva suau en ${ℝ}^n$, i que les primeres n derivades de r són linealment independents. Els vectores en el n-edro de Frenet-Serret són una base ortonormal construïda aplicant el procés de Gram-Schmidt als vectores (r'(s), r''(s), ..., r⁽ⁿ⁾(s)).

El vector tangente unitari és el primer vector de Frenet i₁(s), i es definix com:

${𝐞}_1(s)=\frac{\overline{{𝐞}_1}(s)}{\Vert \overline{{𝐞}_1}(s)\Vert }$

a on

$\overline{{𝐞}_1}(s)={𝐫}^{\prime }(s)$

El vector normal, a voltes cridat vector de curvatura, indica lo que dista la curva de ser una llínea recta. Es definix com:

$\overline{{𝐞}_2}(s)={𝐫}^{″}(s)-⟨{𝐫}^{″}(s),{𝐞}_1(s)⟩{𝐞}_1(s)$

La seua forma normalisada, el vector normal unitari, és el segon vector de Frenet i₂(s) i es definix com:

${𝐞}_2(s)=\frac{\overline{{𝐞}_2}(s)}{\Vert \overline{{𝐞}_2}(s)\Vert }$

Els vectores tangente i normal en el punt s definixen el pla osculador en el punt r(s).

Els vectores restants en el n-edro (el binormal, trinormal, etc.) es definixen de manera similar:

$\begin{array}{c}{𝐞}_j(s)=\frac{\overline{{𝐞}_j}(s)}{\Vert \overline{{𝐞}_j}(s)\Vert }\text{, }\end{array}$

$\begin{array}{c}\overline{{𝐞}_j}(s)={𝐫}^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}⟨{𝐫}^{(j)}(s),{𝐞}_i(s)⟩{𝐞}_i(s).\end{array}$

L'últim vector del sistema es definix com el producte vectorial dels primers $n-1$ vectores:

${𝐞}_n(s)={𝐞}_1(s)\times {𝐞}_2(s)\times \dots \times {𝐞}_{n-2}(s)\times {𝐞}_{n-1}(s)$

Les següents funcions reals χ_i(s) es denominen curvatura generalisades:

${\chi }_i(s)=\frac{⟨{{𝐞}_i}^{\prime }(s),{𝐞}_{i+1}(s)⟩}{\Vert {𝐫}^{\prime }(s)\Vert }$

Les fòrmules de Frenet-Serret, expressades en llenguage matricial, són

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{{𝐞}_1}^{\prime }(s)\\ ⋮\\ {{𝐞}_n}^{\prime }(s)\end{array}\right]=\\ \end{array}\Vert {𝐫}^{\prime }(s)\Vert \cdot \begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0& {\chi }_1(s)& & 0\\ -{\chi }_1(s)& \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0& {\chi }_{n-1}(s)\\ 0& & -{\chi }_{n-1}(s)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1(s)\\ ⋮\\ {𝐞}_n(s)\end{array}\right]\end{array}$

Note's que la convenció usada en definir les curvatura i el sistema de Frenet en dimensió n no és universal. La curvatura superior ${\chi }_{n-1}$ (també cridada torsió, en este context) i l'últim vector en el marc ${𝐞}_n$, diferixen de la torsió habitual pel signe

$\mathrm{or}({𝐫}^{(1)},\dots ,{𝐫}^{(n)})$

(l'orientació de la base). Les fòrmules de Frenet-Serret són invariantes en invertir els signes de ${\chi }_{n-1}$ i ${𝐞}_n$ simultàneament, i este canvi de signe fa que el sistema quede orientat positivament. Com es va definir anteriorment, el sistema hereta la seua orientació del jet de $𝐫$ .

Vore també

• Geometria diferencial de curves
• Cinemàtica
• Marque mòvil
• Ràdio de curvatura

Referències

• . Abstract in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17, 1852.
• .

• .
• .
• .
• .