Contacte (matemàtiques)

Archiu:TangentCircle.png

Una circumferència en contacte de primer orde (tangente)

Archiu:OsculatingCircle2.png

Una circumferència en contacte de segon orde (osculante)

Archiu:VertexOfACurve.png

Una circumferència en contacte de tercer orde en un vèrtiç d'una curva

En matemàtiques, es diu que dos funcions tenen un contacte d'orde k, si en un punt comú P, o en el veïnat de dit punt, coincidixen infinitesimalment els valors de les seues k derivadas. És una relació d'equivalència, les classes de la qual d'equivalència generalment es diuen jets. El punt de osculación es diu doble cim.

Aixina mateix, es parla de curvas i objectes geomètrics que tenen contactes d'orde k en un punt: esta condició també es diu osculación (és dir, besar-se), generalisant la propietat de tangència (ací, les derivades es consideren sobre la llongitut de l'arc). Una curva osculante d'una família donada de curves és aquella que té el major orde de contacte possible en una curva donada, per a un punt donat; per eixemple, una recta tangente és una curva de osculación de la família de rectes i també té un contacte de primer orde en la curva donada; una circumferència osculatriz és una curva de osculación de la família de circumferèncias i té un contacte de segon orde en un punt donat (el mateix àngul tangencial i curvatura), etc.

Les formes de contacte són elements diferencials particulars de primer grau en varietats de dimensions impars (vore geometria de contacte). Les transformacions de contacte són canvis relacionats de coordenades, d'importància en mecànica clàssica (vore també la transformada de Legendre).

El contacte entre varietats s'estudia a sovint en teoria de singularitats, a on es classifica el tipo de contacte, incloent la série A (A₀: creuament, A₁: tangente, A ₂: osculación, ...) i els contactes umbilicalés o série D, a on hi ha un alt grau de contacte en l'esfera.

Contacte entre curves

Es diu que dos curves en el pla que es creuen en un punt p tenen:

• Contacte d'orde 0 si les curves tenen un creuament simple (no tangente).
• Contacte de primer orde si les dos curves són tangentes.
• Contacte de segon orde si les curvaturas de les curves són iguals. Es diu que dites curves són osculantes.
• Contacte de tercer orde si les derivades de la curvatura són iguals.
• Contacte de quart orde si les segones derivades de la curvatura són iguals.

Contacte entre una curva i un círcul

Per a cada punt S(t) en una curva plana suau S, hi ha exactament una circumferència osculatriz, el radi de la qual és el recíproc de κ(t), la curvatura de S en t. A on la curvatura és zero (en un punt d'inflexió de la curva), el círcul de osculación és una llínea recta. El lloc geomètric dels centres de tots els círculs osculadores (també cridats "centres de curvatura") és l'evoluta de la curva.

Si la derivada de la curvatura κ'(t) és zero, llavors el círcul de osculación tindrà contacte de tercer orde i es diu que la curva té un vèrtiç. La evoluta tindrà un cim en el centre del círcul. El signe de la segona derivada de curvatura determina si la curva té un mínim local o màxim de curvatura. Totes les curves tancades tindran a lo manco quatre vèrtiços, dos mínims i dos màxims (segons el teorema dels quatre vèrtiços).

En general, una curva no tindrà contacte de quart orde en cap círcul. No obstant, el contacte de quart orde pot donar-se genèricament en una família de curves d'un paràmetro, en una curva de la família a on (a mida que varia el paràmetro) dos vèrtiços (un de màxim i un de mínim) s'unixen fins a superpondre's. En dits punts, la segona derivada de la curvatura serà zero.

Bi-tangentes en econometria

En econometria també és possible considerar círculs que tenen dos punts de contacte en dos punts S (t₁), S (t₂) en la curva. Dits círculs es denominen "bi-tangentes". Els centres de tots els círculs bi-tangentes formen el conjunt simètric. l'eix mig és un subconjunt del conjunt de simetria. Estos conjunts han segut utilisats com un método de caracterisació de les formes dels objectes biològics per Mario Henrique Simonsen, economiste anglobrasileny.

Bibliografia

• Bruce, J. W. (1992). Curves and Singularities, Cambridge. ISBN 0-521-42999-4.
• Ian R. Porteous (2001) Diferenciació geomètrica , pp 152 i ndash; 7, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8.