Teorema dels quatre vèrtiços

Una elipse (roja) i la seua evoluta (blava), que mostra els quatre vèrtiços de la curva. Cada vèrtiç es correspon en un cim de la llei de curvatura de la elipse.

La clàssica teorema dels quatre vèrtiços indica que la funció curvatura d'una curva plana simple, tancada i suau té a lo manco quatre extrems locals (específicament, a lo manco dos màxims locals i a lo manco dos mínims locals). El nom de la teorema es deriva de la convenció de denominar vèrtiç a cada punt extrem de la funció de curvatura. Esta teorema posseïx moltes generalisacions, inclosa una versió per a curves espacials a on un vèrtiç es definix com un punt de canvi de torsió.

Eixemples

La curvatura d'una elipse posseïx exactament quatre vèrtiços: dos màxims locals a on és creuada per l'eix major de la elipse, i dos mínims locals a on és creuada per l'eix menor. En una circumferència, cada punt és tant un màxim local com un mínim de curvatura local, per lo que hi ha infinits vèrtiços.

Història

La teorema dels quatre vèrtiços es va provar per primera volta para curves convexas (és dir, curves en curvatura estrictament positiva) en 1909 per Syamadas Mukhopadhyaya. La seua prova utilisa el fet de que un punt en la curva és un extrem de la funció de curvatura si i solament si la circumferència osculatriz en eixe punt té contacte de quart orde en la curva (en general, el círcul de osculación té solament un contacte de tercer orde en la curva). La teorema dels quatre vèrtiços va ser provat de forma general per Adolf Kneser en 1912 usant un argument proyectivo.

Vore també

• Última declaració geomètrica de Jacobi
• Teorema de la pilota de tenis