Teorema de Stokes generalisat

En el càlcul vectorial i la geometria diferencial, la teorema de Stokes generalisat, també conegut com la teorema de Stokes-Cartan,^[1] és un enunciat sobre l'integració de formes diferencials en varietats, que simplifica i generalisa varis teoremes del càlcul vectorial. En particular, el teorema fonamental del càlcul és el cas especial a on la varietat és un segment de recta, el teorema de Green i el teorema de Stokes són els casos d'una superfície en $ℝ^{2}$ o $ℝ^{3}$ , i el teorema de la divergència és el cas d'un volum en $ℝ^{3}$ .^[2] Per això, la teorema a voltes es denomina la «teorema fonamental del càlcul multivariable».^[3]

La teorema de Stokes establix que l'integral d'una forma diferencial $ω$ sobre la frontera $\partial Ω$ d'una varietat orientable $Ω$ és igual a l'integral de la seua derivada exterior $d ω$ sobre la totalitat de $Ω$ , és dir, $\int_{\partial Ω} ω = \int_{Ω} d ω .$

La teorema de Stokes va ser formulat en la seua forma moderna per Élie Cartan en 1945,^[4] despuix de treballs previs sobre la generalisació de les teoremes del càlcul vectorial per Vito Volterra, Édouard Goursat i Henri Poincaré.^[5]^[6]

Esta forma moderna de la teorema de Stokes és una generalisació vasta d'un resultat clàssic que Lord Kelvin va comunicar a George Stokes en una carta datada el 2 de juliol de 1850.^[7]^[8]^[9] Stokes va plantejar la teorema com una pregunta en l'examen del Premi Smith de 1854, lo que va dur a que el resultat duguera el seu nom. Va ser publicat per primera volta per Hermann Hankel en 1861.^[9]^[10] Este cas clàssic relaciona l'integral de superfície del rotacional d'un camp vectorial $𝐅$ sobre una superfície (és dir, el fluix de $curl 𝐅$ ) en l'espai euclidiano tridimensional en l'integral de llínea del camp vectorial sobre la frontera de la superfície.

Introducció

El segon teorema fonamental del càlcul establix que l'integral d'una funció $f$ sobre l'interval $[a, b]$ pot calcular-se trobant una antiderivada $F$ de $f$ : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$

La teorema de Stokes és una generalisació vasta d'esta teorema en el següent sentit:

En l'elecció de $F$ , $\frac{d F}{d x} = f (x)$ . En el llenguage de les formes diferencials, açò indica que $f (x) d x$ és la derivada exterior de la 0-forma, és dir, la funció $F$ : en atres paraules, que $d F = f d x$ . La teorema de Stokes general aplica a formes diferencials de grau superior $ω$ en lloc de sol 0-formes com $F$ .
Un interval tancat $[a, b]$ és un eixemple simple d'una varietat en frontera unidimensional. La seua frontera és el conjunt que consta dels dos punts $a$ i $b$ . Integrar $f$ sobre l'interval pot generalisar-se a integrar formes en una varietat de major dimensió. Es necessiten dos condicions tècniques: la varietat deu ser orientable, i la forma deu tindre soport compacte per a que l'integral estiga ben definida.
Els dos punts $a$ i $b$ formen la frontera de l'interval tancat. De manera més general, la teorema de Stokes aplica a varietats orientades $M$ en frontera. La frontera $\partial M$ de $M$ és en sí mateixa una varietat i hereta una orientació natural de la de $M$ . Per eixemple, l'orientació natural de l'interval dona una orientació als dos punts de la frontera. Intuitivamente, $a$ hereta l'orientació oposta a $b$ , ya que estan en extrems oposts de l'interval. Aixina, «integrar» $F$ sobre els dos punts de la frontera $a$ , $b$ és prendre la diferència $F (b) - F (a)$ .

En térmens encara més simples, es pot considerar els punts com a fronteres de curves, és dir, com a fronteres 0-dimensionals de varietats 1-dimensionals. Aixina, de la mateixa manera que es pot trobar el valor d'una integral ( $f d x = d F$ ) sobre una varietat 1-dimensional ( $[a, b]$ ) considerant la antiderivada ( $F$ ) en les fronteres 0-dimensionals ( ${a, b}$ ), es pot generalisar la teorema fonamental del càlcul, en algunes advertències adicionals, per a tractar el valor d'integrals ( $d ω$ ) sobre varietats $n$ -dimensionals ( $Ω$ ) considerant la antiderivada ( $ω$ ) en les fronteres $(n - 1)$ -dimensionals ( $\partial Ω$ ) de la varietat.

Per lo tant, la teorema fonamental diu: $\int_{[a, b]} f (x) d x = \int_{[a, b]} d F = \int_{\partial [a, b]} F = \int_{{a}^{-} \cup {b}^{+}} F = F (b) - F (a) .$

Formulació per a varietats diferenciables en frontera

Siga $Ω$ una varietat orientada diferenciable de dimensió $n$ en frontera i siga $α$ una diferenciable $n$ -forma diferencial en soport compacte en $Ω$ . Primer, supongam que $α$ té soport compacte en el domini d'una única carta de coordenades orientada ${U, φ}$ . En este cas, definim l'integral de $α$ sobre $Ω$ com $\int_{Ω} α = \int_{φ (U)} (φ^{- 1})^{*} α,$ és dir, per mig del regrediente de $α$ a $ℝ^{n}$ .

De manera més general, l'integral de $α$ sobre $Ω$ es definix com seguix: Siga ${ψ_{i}}$ una partició de l'unitat associada en una coberta localment finita ${U_{i}, φ_{i}}$ de cartes de coordenades (consistentemente orientades), llavors definim l'integral $\int_{Ω} α \equiv \sum_{i} \int_{U_{i}} ψ_{i} α,$

a on cada terme de la suma s'evalua retractant a $ℝ^{n}$ com es va descriure anteriorment. Esta cantitat està ben definida; és dir, no depén de l'elecció de les cartes de coordenades ni de la partició de l'unitat.

La teorema de Stokes generalisat diu:

Siga
$ω$
una forma diferenciable
$(n - 1)$
-forma en soport compacte en una varietat orientada
$n$
-dimensional en frontera
$Ω$
, a on
$\partial Ω$
rep l'orientació induïda. Llavors
$\int_{Ω} d ω = \int_{\partial Ω} ω .$

Ací

d

és la derivada exterior, que es definix usant únicament l'estructura de la varietat. El costat dret de l'equació a voltes s'escriu com

\oint_{\partial Ω} ω

per a emfatisar que la varietat

(n - 1)

-dimensional

\partial Ω

no té frontera.^{[Nota 1]} (Este fet també és una implicació de la teorema de Stokes, ya que per a una varietat diferenciable

n

-dimensional donada

Ω

, l'aplicació de la teorema dos voltes dona

\int_{\partial (\partial Ω)} ω = \int_{Ω} d (d ω) = 0

per a qualsevol

(n - 2)

-forma

ω

, lo que implica que

\partial (\partial Ω) = \emptyset

.) El costat dret de l'equació a sovint s'usa per a formular lleis integrals; el costat esquerre du a formulació diferencials equivalents (vore més avall).

La teorema s'usa a sovint en situacions a on $Ω$ és una subvariedad orientada embebida d'alguna varietat major, a sovint $ℝ^{k}$ , en la qual la forma $ω$ està definida.

Vore també

[[Archiu:{{#switch:Matemàtiques|20px|Vore el portal sobre Matemàtiques]] Portal:Matemàtiques. Contingut relacionat en Matemàtiques.

Notes

↑ Per als matemàtics, este fet és conegut, per lo que el círcul és redundante i a sovint s'omet. No obstant, cal tindre en conte que en termodinàmica, a on freqüentment apareixen expressions com $\oint_{W} {d_{total} U}$ (a on la derivada total, vore més avall, no deu confondre's en l'exterior), el camí d'integració $W$ és una llínea tancada unidimensional en una varietat de dimensió molt major. És dir, en una aplicació termodinàmica, a on $U$ és una funció de la temperatura $α_{1} = T$ , el volum $α_{2} = V$ i la polarisació elèctrica $α_{3} = P$ de la mostra, es té ${d_{total} U} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial U}{\partial α_{i}} d α_{i},$ i el círcul és realment necessari, per eixemple, si es consideren les conseqüències diferencials del postulat integral $\oint_{W} {d_{total} U} \overset{!}{=} 0 .$

Referències

↑ Physics of Collisional Plasmes – Introduction to (en en), Springer.
↑ "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio novembre de 2019, ASIN: B07P1NNTSD
↑ Spivak, Michael. Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus, New York: Avalon Publishing. OCLC 187146. ISBN 0-8053-9021-9.
↑ Cartan, Élie (1945). Els Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques, Paris: Hermann.
↑ Katz, Victor J.. “The History of Stokes' Theorem”. Mathematics Magazine 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275.
↑ Katz, Victor J. (1999). «5. Formes diferencials», History of Topology, Amsterdam: Elsevier, pp. 111–122. ISBN 9780444823755.
↑
Vore:
- Katz, Victor J.. “The history of Stokes' theorem”. Mathematics Magazine 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.
- La carta de Thomson a Stokes apareix en: (1990) The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 96–97. ISBN 9780521328319.
- Ni Thomson ni Stokes varen publicar una demostració de la teorema. La primera demostració publicada va aparéixer en 1861 en: Hankel, Hermann. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei, pp. 34–37. Hankel no menciona a l'autor de la teorema.
- En una nota al peu, Larmor menciona investigadors anteriors que varen integrar, sobre una superfície, el rotacional d'un camp vectorial. Vore: Stokes, George Gabriel (1905). Mathematical and Physical Papers by the clapix Sir George Gabriel Stokes (vol. 5), Cambridge, England: University of Cambridge Press, pp. 320–321.
↑ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, England: OUP Oxford, p. 146. ISBN 0198505930.
↑ ^9,0 ^9,1 Spivak (1965), p. vii, Prefacio.
↑
Vore:
- L'examen del Premi Smith de 1854 està disponible en llínea en: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell va realisar este examen i va empatar en el primer lloc en Edward John Routh. Vore: (1990) The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862, Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 237, nota al peu 2. ISBN 9780521256254. Vore també Premi Smith o Clerk Maxwell Foundation.
- Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (vol. 1), Oxford, England: Clarendon Press, pp. 25–27. En una nota al peu en la pàgina 27, Maxwell menciona que Stokes va usar la teorema com la pregunta 8 en l'examen del Premi Smith de 1854. Esta nota al peu sembla haver segut la causa de que la teorema es coneguera com a «teorema de Stokes».

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Stokes generalizado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-11] Per als matemàtics, este fet és conegut, per lo que el círcul és redundante i a sovint s'omet. No obstant, cal tindre en conte que en termodinàmica, a on freqüentment apareixen expressions com $\oint_{W} {d_{total} U}$ (a on la derivada total, vore més avall, no deu confondre's en l'exterior), el camí d'integració $W$ és una llínea tancada unidimensional en una varietat de dimensió molt major. És dir, en una aplicació termodinàmica, a on $U$ és una funció de la temperatura $α_{1} = T$ , el volum $α_{2} = V$ i la polarisació elèctrica $α_{3} = P$ de la mostra, es té ${d_{total} U} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial U}{\partial α_{i}} d α_{i},$ i el círcul és realment necessari, per eixemple, si es consideren les conseqüències diferencials del postulat integral $\oint_{W} {d_{total} U} \overset{!}{=} 0 .$

[1] Physics of Collisional Plasmes – Introduction to (en en), Springer.

[2] "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio novembre de 2019, ASIN: B07P1NNTSD

[3] Spivak, Michael. Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus, New York: Avalon Publishing. OCLC 187146. ISBN 0-8053-9021-9.

[4] Cartan, Élie (1945). Els Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques, Paris: Hermann.

[5] Katz, Victor J.. “The History of Stokes' Theorem”. Mathematics Magazine 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275.

[6] Katz, Victor J. (1999). «5. Formes diferencials», History of Topology, Amsterdam: Elsevier, pp. 111–122. ISBN 9780444823755.

[7] Vore:
Katz, Victor J.. “The history of Stokes' theorem”. Mathematics Magazine 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.

La carta de Thomson a Stokes apareix en: (1990) The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 96–97. ISBN 9780521328319.

Ni Thomson ni Stokes varen publicar una demostració de la teorema. La primera demostració publicada va aparéixer en 1861 en: Hankel, Hermann. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei, pp. 34–37. Hankel no menciona a l'autor de la teorema.

En una nota al peu, Larmor menciona investigadors anteriors que varen integrar, sobre una superfície, el rotacional d'un camp vectorial. Vore: Stokes, George Gabriel (1905). Mathematical and Physical Papers by the clapix Sir George Gabriel Stokes (vol. 5), Cambridge, England: University of Cambridge Press, pp. 320–321.

[9] Katz, Victor J.. “The history of Stokes' theorem”. Mathematics Magazine 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.

[10] La carta de Thomson a Stokes apareix en: (1990) The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 96–97. ISBN 9780521328319.

[11] Ni Thomson ni Stokes varen publicar una demostració de la teorema. La primera demostració publicada va aparéixer en 1861 en: Hankel, Hermann. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei, pp. 34–37. Hankel no menciona a l'autor de la teorema.

[12] En una nota al peu, Larmor menciona investigadors anteriors que varen integrar, sobre una superfície, el rotacional d'un camp vectorial. Vore: Stokes, George Gabriel (1905). Mathematical and Physical Papers by the clapix Sir George Gabriel Stokes (vol. 5), Cambridge, England: University of Cambridge Press, pp. 320–321.

[8] Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, England: OUP Oxford, p. 146. ISBN 0198505930.

[spivak65-9] 9,0 ^9,1 Spivak (1965), p. vii, Prefacio.

[10] Vore:
L'examen del Premi Smith de 1854 està disponible en llínea en: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell va realisar este examen i va empatar en el primer lloc en Edward John Routh. Vore: (1990) The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862, Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 237, nota al peu 2. ISBN 9780521256254. Vore també Premi Smith o Clerk Maxwell Foundation.

Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (vol. 1), Oxford, England: Clarendon Press, pp. 25–27. En una nota al peu en la pàgina 27, Maxwell menciona que Stokes va usar la teorema com la pregunta 8 en l'examen del Premi Smith de 1854. Esta nota al peu sembla haver segut la causa de que la teorema es coneguera com a «teorema de Stokes».

[16] L'examen del Premi Smith de 1854 està disponible en llínea en: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell va realisar este examen i va empatar en el primer lloc en Edward John Routh. Vore: (1990) The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862, Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 237, nota al peu 2. ISBN 9780521256254. Vore també Premi Smith o Clerk Maxwell Foundation.

[17] Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (vol. 1), Oxford, England: Clarendon Press, pp. 25–27. En una nota al peu en la pàgina 27, Maxwell menciona que Stokes va usar la teorema com la pregunta 8 en l'examen del Premi Smith de 1854. Esta nota al peu sembla haver segut la causa de que la teorema es coneguera com a «teorema de Stokes».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[Nota 1]