Partició de l'unitat

Archiu:Partition of unity illustration.svg

Una partició de l'unitat d'una circumferència en quatre funcions. La circumferència es desenrolla fins a formar un segment rectilíneo (la llínea contínua inferior) per a facilitar la seua representació. La llínea discontínua superior és la suma de les funcions de la partició

En matemàtiques, una partició de l'unitat d'un espai topològic X és un conjunt R de funcions contínues des de X fins al interval unitat [0,1] tal que per a cada punt $x\in X$:

• Existix un entorn de x a on totes menys un número finito de les funcions de R són 0, i
• La suma de tots els valors de la funció en x és 1, és dir, $\sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.$

Les particions de l'unitat són útils perque a sovint permeten estendre les construccions locals a tot l'espai. També són importants en l'interpolació de senyes, en el processat de senyals i en la teoria dels splines.

Existència

L'existència de particions de l'unitat assumix dos formes distintes:

1. Donat qualsevol recobriment $\{U_i{\}}_{i\in I}$ d'un espai, existix una partició $\{{\rho }_i{\}}_{i\in I}$ indexada sobre el mateix conjunt I tal que soporta ${\rho }_i\subseteq U_i.$ Es diu que dita partició està 'subordinada al recobriment obert $\{U_i{\}}_i.$
2. Si l'espai és localment compacte, donat qualsevol recobriment obert $\{U_i{\}}_{i\in I}$ d'un espai, existix una partició $\{{\rho }_j{\}}_{j\in J}$ indexada sobre un conjunt d'índexs J possiblement distint, de modo que cada

ho_j tinga un soport compacte i per a cada j in J, i suplix a ${\rho }_j\subseteq U_i$ per a algun i in I.

Per lo tant, s'elegix tindre els soports indexats pel recobriment obert o per soports compactes. Si l'espai és compacte, llavors existixen particions que satisfan abdós requisits.

Un recobriment obert finito sempre té subordinada una partició contínua de l'unitat, sempre que l'espai siga localment compacte i de Hausdorff.

La paracompacidad de l'espai és una condició necessària per a garantisar l'existència d'una partició de l'unitat subordinat a qualsevol recobriment obert. Depenent de la categoria a la que pertanyga l'espai, també pot ser condició suficient. La construcció utilisa un apaciguador, un tipo de funcions que existixen en les varietats diferenciables i contínues, pero no en les varietats analítiques. Aixina, per a un recobriment obert d'una varietat analítica, generalment no existix una partició analítica de l'unitat subordinada a eixe recobriment obert (vore extensió analítica).

Si R i T són particions de l'unitat per als espais X i I, respectivament, llavors el conjunt de tots els parells $\{\rho \otimes \tau :\rho \in R,\tau \in T\}$ és una partició de l'unitat per a l'espai producte cartesiano X imes I. El producte tensorial de funcions actua com $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).$

Eixemple

Es pot construir una partició de l'unitat en $S^1$ considerant un gràfic en el complement d'un punt $p\in S^1$ enviant $S^1-\{p\}$ a $ℝ$ en centre $q\in S^1$. Ara, considerar que $\Phi$ siga una funció bulto en $ℝ$ definida per: $\Phi (x)=\{\begin{array}{cc}\exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right)& x\in (-1,1)\\ 0& \text{ en caso contrario }\end{array}$, llavors, tant esta funció com $1-\Phi$ es poden estendre únicament a $S^1$ configurant $\Phi (p)=0$. En conseqüència, el conjunt $\{(S^1-\{p\},\Phi ),(S^1-\{q\},1-\Phi )\}$ forma una partició de l'unitat sobre $S^1$.

Vore també

• Axioma de pegat
• Fes fi

Bibliografia

• (2011).«An introduction to manifolds».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:doi:10.1007/978-1-4419-7400-6., vore capítul 13