Teorema de la divergència

En càlcul vectorial, la teorema de la divergència, també conegut com a teorema de Gauss o teorema de Gauss–Ostrogradski, és una teorema que relaciona el fluix d'un camp vectorial a través d'una superfície tancada en la divergència del camp en el volum delimitat per dita superfície.

De forma equivalent, la teorema establix que l'integral de superfície d'un camp vectorial sobre una superfície tancada és igual a l'integral de volum de la divergència del camp sobre la regió interior. Este resultat constituïx una ferramenta fonamental en àrees com l'electromagnetisme, la mecànica de decorreguts i la física matemàtica, en permetre relacionar propietats locals d'un camp en el seu comportament global.

La teorema de la divergència és un resultat important en la física i en ingenieria, particularment en electrostàtica i en mecànica de decorreguts. En estos camps, normalment s'utilisa la teorema en tres dimensions, no obstant, pot generalisar-se a qualsevol número de dimensions; en una dimensió és equivalent a integració per parts i en dos dimensions és equivalent al teorema de Green.

Història

Joseph-Louis Lagrange va introduir la notació d'integral de superfície en 1760 i en 1811 ho va fer en térmens més generals en la segona edició de Mécanique Analytique. Lagrange va utilisar integrals de superfície en el seu treball de mecànica de decorreguts, ell va ser qui va descobrir la teorema de la divergència en 1762.

Carl Friedrich Gauss també va utilisar integrals de superfície mentres va estar treballant en l'atracció gravitacional d'una esfera elíptica en 1813 quan va demostrar casos particulars de la teorema de la divergència pero va ser Mijaíl Ostrogradski qui va donar la primera demostració general de la teorema en 1826 com a part de la seua investigació. Casos especials varen ser demostrats per George Green en 1828 en An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism i Siméon Denis Poisson en 1824 en un document relacionat en elasticitat.

Teorema

Siga $U$ una regió sòlida acotada per una superfície tancada $S$. Si $𝐅$ és un camp vectorial contínuament diferenciable en un entorn de $U$ llavors

$\underset{\partial U}{\iint }𝐅\cdot d𝐒=\underset{U}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅dV$

a on $S=\partial U$.

Vore també

• Llei de Gauss
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes

Referències

Bibliografia

• R. G. Lerner, G. L. Trigg (1994). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 3-527-26954-1.
• Young; Freedman, {{{nom2}}} (2009). Física Universitària de Sears-Zemansky II, 12.ª edició, Pearson. ISBN 978-607-442-304-4.
• Tipler, Paul A.; Mosca, {{{nom2}}} (2010). Física per a la ciència i la tecnologia II, 6.ª edició, Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
• Serway, Raymond A.; Jewett, {{{nom2}}} (2003). Física: Mecànica, oscilacions i ones, termodinàmica I, 3.ª edició, Thomson-Paraninfo. ISBN 84-9732-168-5.

Enllaços externs

• Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
• The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
• Divergence Theorem en MathWorld.