Camp espinorial

Un camp espinorial és un tipo de camp físic que generalisa els conceptes de camps vectorials i tensoriales. Si un camp tensorial és un tipo de representació llineal del grup de Lorentz $ℒ$, un camp espinorial és una representació de la seua recubridor universal, el grup llineal especial $SL(2,ℂ)$.

Moltes magnituts físiques representables per mig de camps tensoriales poden representar-se també matemàticament per camps espinoriales de manera equivalent. No obstant alguns camps espinoriales no admeten anàlecs tensoriales. En eixe sentit els camps espinoriales generalisen els camps vectorials i tensoriales, que poden ser vists com a casos particulars de magnituts espinoriales. La mecànica quàntica fa un us extensiu dels camps espinoriales sense anàlec clàssic.

Introducció

Els vectores i tensors poden ser vists com espais vectorials reals associats una certa representació de grup del grup de Lorentz, per lo que els seus components varien de certa manera peculiar quan s'expressen respecta a una base vectorial o una base rotada respecte a l'anterior per eixemple. Els espinores són espais vectorials complexos associats a representacions de grup del espai recubridor universal del grup de Lorentz, és dir, $SL(2,ℂ)$ o més exactament de la seua àlgebra de Lie.

Un camp espinorial es caracterisa per dos peculiaritats:

• Les mides obtingudes per dos observadorés inerciales d'un mateix camp tensorial, estan relacionades per lleis de transformació associades a una representació de grups de Lie $SL(2,ℂ)$ o $SU(2,ℂ)$ (Els camps vectorials i tensoriales es transformen segons representacions de $SO(3,1,ℝ)$ o $SO(3,ℝ)$).
• Les úniques magnituts físiques directament mesurables són funcions "quadràtiques" de les components del camp (estes si es transformen d'acort a $SO(3,1,ℝ)$ i $SO(3,ℝ)$).

Matemàticament els espinores més simples són vectores les components dels quals són número complejo (la dimensió vectorial sobre els complexos d'un espai de espinores de Weyl és dos, mentres que per als espinores de Dirac és quatre). La diferència entre un camp vectorial i un camp espinorial és la llei de transformació de components segons diferents observadors. Tècnicament un camp espinorial és una secció del fibrado espinorial de l'espai-temps.

Formalment, un camp espinorial és un camp tal que pren valors sobre un espai vectorial, sobre el que s'ha definit una representació del àlgebra de Lie del grup de Lorentz. El tipo més senzill vector de dos components complexes (espinor ordinari o de dos components), les components dels quals per a diferents observadors estan relacionades per mig de matrius que constituïxen una representació de $𝔰𝔩(2)$. Ademés en la descripció de fermiones i neutrinos és comuna l'us de espinores de quatre components (espinor de Dirac).

Motivació matemàtica

Les simetria d'un problema físic requerixen que certes equacions i entitats que representen magnituts físiques, siguen invariantes baix l'acció d'un grup sobre cert conjunt d'ents matemàtics. En relativitat especial l'espai-temps de Minkowski té al grup de Poincaré com grup de simetria. Degut a que dit el grup de Lorentz és un subgrup del grup de Poincaré, la covariancia d'una teoria relativista requerix que una acció del grup de Lorentz deixe invariante certes expressions de la teoria. Els aspectes quàntics de la teoria requerixen considerar representacions proyectivas de dit grup.

Una teorema de Wigner du a que les representacions proyectivas d'un grup de Lie, poden obtindre's a partir de les representacions ordinàries de la seua recubridor universal. Els recubridores universals del grup de Lorentz $SO(3,1,ℝ)$ i del grup de rotacions espacials $SO(3,ℝ)$ són respectivament $SL(2,ℂ)$ i $SU(2,ℂ)$.

La motivació és que els grups de Lie $SL(2,ℂ)$ i $SU(2,ℂ)$ són ademés de compactes, simplement conexos, ya que el tractament quàntic d'un camp físic requerix estudiar les representacions proyectivas del grup de simetria associat al camp. Ademés resulta que les representacions proyectivas d'un grup de Lie es reduïxen a les representacions ordinàries de la seua recubridor universal. Aixina substituir els grups $SO(3,1,ℝ)$ i $SO(3,ℝ)$ pels seus recubridores universals $SL(2,ℂ)$ i $SU(2,ℂ)$ resol el problema de determinar totes les representacions proyectivas irreducibles dels dos primers grups.

Motivació física

En teoria quàntica de camps qualsevol tipo de partícula material és tractada com un camp. Els dos tipos bàsics de partícules són els bosones i els fermiones, els primers poden ser descrits adequadament per mig de camps vectorials o tensoriales mentres que els segons només poden ser descrits per mig de camps espinoriales. Això se seguix del teorema de Wigner i del teorema espin-estadística.

Espinores en relativitat especial

Espinores de Weyl

Els espinores de Weyl prenen valors sobre ${ℂ}^2$. Com a camps espinoriales no són directament mesurables ya que solament mesurables combinacions quadràtiques o en que són un producte d'un número par de components de espinores de Weyl. Per eixemple la densitat d'electrons és d'eixe tipo. Existixen dos tipos de espinores de Weyl usualment cridats espinores dextrógiros i espinores levógiros. Cada u d'estos tipos de espinores està associat a dos representacions de l'àlgebra de Lie del grup de Lorentz diferents, encara que abdós tenen la mateixa dimensió. Daus dos camps espinoriales un dextrógiro (D) i un atre levógiro (L), les seues lleis de transformació de components vénen donades per:

La distinció anterior pot explicar-se en els següents térmens: les representacions de l'àlgebra de Lie complejificada del grup de Lorentz $ℂ\otimes 𝔰𝔬(3,1,ℝ)$ poden reduir-se a les representacions irreducibles de $ℂ\otimes 𝔰𝔲(2)$ ya que dita àlgebra pot considerar-se com la suma directa de dos àlgebra isomorfas:

La notació $D_{i,j}$ es referix als pesos i i j de la representació en cada u dels dos espais $ℂ\otimes 𝔰𝔲(2)$.

Espinores de Dirac

Un biespinor de Dirac no és una atra cosa que un element del doble producte cartesiano d'un espai de espinores ordinaris o espinores de Weyl:

No obstant, deu tindre's presente que el espinor "dret" (right) ${\psi }_R(x)$ es transforma segons una representació (1/2, 0) mentres que el espinor "esquerre" (left) ${\psi }_L(x)$ es transforma segons una representació (0, 1/2), encara que cada u dels dos pertany a un espai isomorfo a ${ℂ}^2$. Els biespinores de Dirac també poden usar-se per a representar-se espinores de Weyl. Per als biespinores de Dirac poden triar-se diferents interpretacions en funció de la forma que es prenga per a les matrius de Dirac. La representació de Weyl per a les matrius de Dirac és la més convenient per a calcular transformacions de Lorentz de espinores.

Des d'un punt de vista elemental camp espinorial de Dirac és un camp vectorial de quatre components complexes, tal que les seues components medides per diferents observadorés estan relacionades per relacions definibles en térmens de espinores ordinaris.

Espinores de Majorana

Un espinor de Majorana és un subtipo de biespinor de Dirac que s'usa per a descriure camps físics la partícula associada dels quals coincidix en la seua pròpia antipartícula. Aixina baix una operació de conjugació de càrrega tenim ${\Psi }^c=\Psi$ o més explícitament:

a on $\widehat{𝐂}$ és l'operador o matriu de conjugació de càrrega.