Postulats de la mecànica quàntica

La formulació matemàtica rigorosa de la mecànica quàntica va ser desenrollada per Paul Adrien Maurice Dirac i John von Neumann. Dita formulació canònica es basa en un conjunt de mija dotzena de postulats (depenent de les formulació). Este artícul presenta una enumeració més o menys canònica de dits postulats fonamentals en que es resumix dita formulació.

Introducció

Els postulats de la mecànica quàntica de forma rigorosa requerixen l'introducció de certs objectes matemàtics complexos com els espais de Hilbert de dimensió no finita (per al conjunt d'estats), operadors llineals definits sobre dit espai que permeten formalisar el concepte de mida d'una magnitut física, conceptes algebraics com el de vector propi, valor propi i atres conceptes de teoria espectral ademés de varis conceptes de provabilitat alvançada (conjunts borelianos, àlgebra de Borel, etc.)

Nomenclatura usada

$|\psi ⟩\to$ Estat quàntic
$A\to$ Observable
${\lambda }_i\to$ Autovalor
$a_i\to$ Autovector
$𝕀\to$ Matriu identitat
$\hslash \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{h}{2\pi }=1.05457168(18)\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$ Constant reduïda de Planck (h-agrane)
$[A,B]=AB-BA\to$ Commutador

Postulat I

Artícul principal → Notació braket.

Tot estat quàntic està representat per un vector normalisat, cridat en alguns casos "vector d'estat" pertanyent a un espai de Hilbert complex i separable $\mathscr{H}$ (espais compactes en estructura vectorial i de funcions acotades). Fixada una base de l'espai de Hilbert unitària $\{|u_n⟩{\}}_{n=1}^N$ tal que,

es pot representar l'estat de les següents formes vectorials:

1. Forma ket:

1. Forma bra:

a on la "*" significa complex conjugat. L'espai de kets i bras formen espais vectorials duals un d'un atre. ya que tot espai de Hilbert és reflexiu abdós espais són isomorfos i per tant constituïxen descripcions essencialment semblants.

L'estat físic d'un sistema quàntic solament adquirix forma matemàtica concreta quan es tria una base en la qual representar-ho. Més encara, l'estat quàntic no deu ser identificat en una forma matemàtica concreta, sino en una classe d'equivalència de formes matemàtiques que representen el mateix estat físic. Per eixemple, tots els kets de la forma $e^{i\theta }|\psi ⟩$ per a tot θ, encara sent vectores diferents de l'espai de Hilbert representen el mateix estat quàntic.

El ket normalisat deu complir: $\Vert \psi {\Vert }^2=⟨\psi |\psi ⟩=1$. L'elecció del ket normalisat que representa a l'estat no és única ya que $|\psi ⟩$ i $e^{i\theta }|\psi ⟩$ representen el mateix estat ya que la mida de qualsevol magnitut en ells és idèntica. Les funciones d'ona són una de les representacions possibles dels estats sobre l'espai L²(ℝ³), la definició rigorosa del qual requerix l'us d'espais de Hilbert equipats.

Vore també

• Mecànica quàntica
• Espai de Hilbert
• Hamiltoniano (mecànica quàntica)
• Observable
• Espectre d'un operador

Bibliografia

• Galindo, A. i Pascual P.: Mecànica quàntica, Ed. Eudema, Barcelona, 1989, ISBN 84-7754-042-X.