Estructura fina

En física atòmica, la estructura fina descriu la separació de les llínees espectrals d'àtoms pel espin electrònic i correccions relativistes a l'equació de Schrödinger. La primera medició precisa de l'estructura fina va ser feta per Albert A. Michelson i Edward W. Morley en 1887 per a l'àtom d'hidrogen,^[1]^[2] i el seu fonament teòric va ser desenrollat per Arnold Sommerfeld, el que va introduir la constant d'estructura fina.^[1]^[2]^[3]

Antecedents

Estructura de les llínees espectrals

L'estructura major de les llínees espectrals pot ser predita per la mecànica quàntica no-relativista per a electrons sense considerar l'espin. Per a un àtom hidrogenoide, l'estructura major dels nivells d'energia depén solament en la seua número quàntic principal $n$ . No obstant, un model més precís deu prendre en conte els efectes relativistes i d'espin, els que trenquen la degeneració dels nivells d'energia i separa les llínees espectrals. L'escala de la separació d'estructura fina relativa a l'estructura energètica major està en l'orde de $(Z α)^{2}$ , a on $Z$ és el número atòmic i $α$ és la constant d'estructura fina, una cantitat adimensional aproximadament igual a 1/137.

Correccions relativistes

Les correccions d'estructura fina a l'energia poden ser obtingudes usant teoria de destorbament. Per a realisar este càlcul es deuen agregar tres térmens de correcció al Hamiltoniano: la correcció relativista principal a l'energia cinètica, la correcció per l'acoplament espin-òrbita, i el terme de Darwin, que ve del moviment tipo zitterbewegung de l'electró relativiste dins del potencial del núcleu.

Estes correccions també poden ser obtingudes en el llímit no relativiste de l'equació de Dirac, ya que la teoria de Dirac incorpora de manera natural la relativitat i les interaccions d'espin.

L'àtom d'hidrogen

Correcció relativista a l'energia cinètica

L'estructura major assumix que el terme d'energia cinètica del Hamiltoniano pren la mateixa forma que en la mecànica clàssica. En el cas d'un sol electró açò és

ℋ^{0} = \frac{p^{2}}{2 m_{e}} + V

a on $V$ és l'energia potencial, $p$ és el momentum i $m_{e}$ és la massa de l'electró.

No obstant, en considerar una teoria més exacta per mig de la relativitat especial, és necessari usar l'expressió relativista de l'energia cinètica:

T = \sqrt{p^{2} c^{2} + m_{e}^{2} c^{4}} - m_{e} c^{2}

a on el primer terme és l'energia relativista total, el segon terme és l'energia en repòs de l'electró i $c$ és la velocitat de la llum. Usant l'expansió en série, trobem que

T = m_{e} c^{2} \sqrt{1 + \frac{p^{2}}{m_{e}^{2} c^{2}}} - m_{e} c^{2}

T = m_{e} c^{2} (1 + \frac{p^{2}}{2 m_{e}^{2} c^{2}} - \frac{p^{4}}{8 m_{e}^{4} c^{4}} + ...) - m_{e} c^{2}

T = \frac{p^{2}}{2 m_{e}} - \frac{p^{4}}{8 m_{e}^{3} c^{2}} + \dots

A pesar de que hi ha un número infinit de térmens en esta série, els térmens d'orde superior són molt més chicotets que els primers, per lo que podem despreciar tots llevat els primers dos. Com el primer terme ya és part del Hamiltoniano clàssic, la correcció de primer orde al Hamiltoniano és

ℋ^{'} = - \frac{p^{4}}{8 m_{e}^{3} c^{2}}

Usant este terme com un destorbament, podem calcular les correccions de primer orde a l'energia pels efectes relativistes.

E_{n}^{(1)} = ⟨ ψ^{0} | ℋ^{'} | ψ^{0} ⟩ = - \frac{1}{8 m_{e}^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{4} | ψ^{0} ⟩ = - \frac{1}{8 m_{e}^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{2} p^{2} | ψ^{0} ⟩

a on $ψ^{0}$ és la funció d'ona sense pertorbar. Recordant el Hamiltoniano sense pertorbar, veem que

\begin{matrix} ℋ^{0} | ψ^{0} ⟩ & = E_{n} | ψ^{0} ⟩ \\ (\frac{p^{2}}{2 m_{e}} + V) | ψ^{0} ⟩ & = E_{n} | ψ^{0} ⟩ \\ p^{2} | ψ^{0} ⟩ & = 2 m_{e} (E_{n} - V) | ψ^{0} ⟩ \end{matrix}

Podem utilisar este resultat per a calcular la correcció relativista

\begin{matrix} E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{8 m_{e}^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{2} p^{2} | ψ^{0} ⟩ \\ E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{8 m_{e}^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | (2 m_{e})^{2} (E_{n} - V)^{2} | ψ^{0} ⟩ \\ E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{2 m_{e} c^{2}} (E_{n}^{2} - 2 E_{n} ⟨ V ⟩ + ⟨ V^{2} ⟩) \end{matrix}

Per a l'àtom d'hidrogen,

$V (r) = \frac{- e^{2}}{4 π ε_{0} r}$ $⟨ \frac{1}{r} ⟩ = \frac{1}{a_{0} n^{2}}$ , i $⟨ \frac{1}{r^{2}} ⟩ = \frac{1}{(l + 1 / 2) n^{3} a_{0}^{2}}$ ,

a on $e$ és la càrrega elemental, $ε_{0}$ és la permitividad del buit, $a_{0}$ és el radi de Bohr, $n$ és el número quàntic principal, $l$ és el número quàntic assimutal i $r$ és la distància de l'electró al núcleu. Per lo tant, la correcció relativista de primer orde per a l'àtom d'hidrogen és

\begin{matrix} E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{2 m_{e} c^{2}} (E_{n}^{2} + 2 E_{n} \frac{e^{2}}{4 π ε_{0}} \frac{1}{a_{0} n^{2}} + \frac{1}{16 π^{2} ε_{0}^{2}} \frac{e^{4}}{(l + \frac{1}{2}) n^{3} a_{0}^{2}}) \\ = - \frac{E_{n}^{2}}{2 m_{e} c^{2}} (\frac{4 n}{l + \frac{1}{2}} - 3) \end{matrix}

a on hem utilisat:

E_{n} = - \frac{e^{2}}{8 π ε_{0} a_{0} n^{2}}

En un càlcul final, l'orde de magnitut per a la correcció relativista a l'estat basal és $- 9.056 \times 1 0^{- 4} eV$ .

Acoplament espin-òrbita

Per a un àtom hidrogenoide en $Z$ protones, momentum angular orbital $\vec{L}$ i espin electrònic $\vec{S}$ , el terme d'espin-òrbita està donat per

ℋ_{S O} = \frac{1}{2} (\frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0}}) (\frac{g_{s}}{2 m_{e}^{2} c^{2}}) \frac{\vec{L} \cdot \vec{S}}{r^{3}}

a on $g_{s}$ és el factor-g d'espin.

La correcció d'espin-òrbita pot ser entesa com un canvi del marc de referència en el que l'electró "orbita" al núcleu a un en el que l'electró és estacionario i el núcleu lo "orbita". En este cas, el núcleu orbitante actua com una corrent efectiva que genera un camp magnètic. No obstant, l'electró per sí mateixa té un moment magnètic intrínsec. Els dos vectores magnètics $\vec{B}$ i ${\vec{μ}}_{s}$ s'acoplen tal que hi ha un cost energètic que depén en la seua orientació relativa. Açò resulta en una correcció a l'energia de forma

Δ E_{S O} = ξ (r) \vec{L} \cdot \vec{S}

cal notar que un important factor de 2 deu ser afegit al càlcul, cridat precesión de Thomas, que ve del càlcul relativiste en el que es canvia de regrés al marc de referència de l'electró.

Com

\begin{matrix} ⟨ \frac{1}{r^{3}} ⟩ & = \frac{Z^{3}}{n^{3} a_{0}^{3}} \frac{1}{l (l + \frac{1}{2}) (l + 1)} \\ ⟨ \vec{L} \cdot \vec{S} ⟩ & = \frac{ℏ^{2}}{2} [j (j + 1) - l (l + 1) - s (s + 1)] \end{matrix}

el valor esperat del Hamiltoniano és

⟨ ℋ_{S O} ⟩ = \frac{E_{n}^{2}}{m_{e} c^{2}} n \frac{j (j + 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}}{l (l + \frac{1}{2}) (l + 1)}

Per això, l'orde de magnitut per a l'acoplament espin-òrbita és $\frac{Z^{4}}{n^{3} (j + 1 / 2)} 1 0^{- 5} eV$ .

En presència de camps magnètics externs dèbils, l'acoplament espin-òrbita contribuïx al efecte Zeeman.

Terme de Darwin

Hi ha un últim terme en l'expansió no relativista de l'equació de Dirac. Es coneix com el terme de Darwin, que va ser derivat per primera volta per Charles Galton Darwin, i està donat per:

\begin{matrix} ℋ_{D a r w i n} & = \frac{ℏ^{2}}{8 m_{e}^{2} c^{2}} 4 π (\frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0}}) δ^{3} (\vec{r}) \\ ⟨ ℋ_{D a r w i n} ⟩ & = \frac{ℏ^{2}}{8 m_{e}^{2} c^{2}} 4 π (\frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0}}) | ψ (0) |^{2} \\ ψ (0) & = 0 para l > 0 \\ ψ (0) & = \frac{1}{\sqrt{4 π}} 2 {(\frac{Z}{n a_{0}})}^{\frac{3}{2}} para l = 0 \\ ℋ_{D a r w i n} & = \frac{2 n}{m_{e} c^{2}} E_{n}^{2} \end{matrix}

El terme de Darwin afecta solament als orbitales $s$ . Açò perque la funció d'ona d'un electró en $l > 0$ s'anula en l'orige, per lo que la funció delta no té efecte. Per eixemple, al orbital $2 s$ li dona la mateixa energia que el orbital $2 p$ , pujant l'energia de l'orbital $2 s$ en $9.057 \times 1 0^{- 5} eV$ .

El terme de Darwin canvia el potencial efectiu en el núcleu. Açò pot ser interpretat com una disseminació de l'interacció electrostàtica entre l'electró i el núcleu per les fluctuacions quàntiques o zitterbewegung de l'electró.

Un atre mecanisme que afecta només al orbital $s$ és el desplaçament de Lamb, una chicoteta correcció que sorgix de l'electrodinàmica quàntica que no deu ser confosa en el terme de Darwin. El terme de Darwin li dona al orbital $s$ i al orbital $p$ la mateixa energia, pero el desplaçament de Lamb fa que el orbital $s$ tinga una major energia que el orbital $p$ .

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 (1887).«On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length».American Journal of Science.34
↑ ^2,0 ^2,1 (1887).«On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length».Philosophical Magazine.24
↑ «Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie».Naturwissenschaften.28(27)doi:10.1007/BF01490583.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Estructura fina» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 (1887).«On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length».American Journal of Science.34

[:1-2] 2,0 ^2,1 (1887).«On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length».Philosophical Magazine.24

[3] «Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie».Naturwissenschaften.28(27)doi:10.1007/BF01490583.

[1]

[2]

[3]