Àtom hidrogenoide

Els àtoms hidrogenoides^[1] són àtoms o cationes atòmics formats per un núcleu i un sol electró. Es diuen aixina perque són isoelectrónicos en l'àtom d'hidrogen i, per tant, tindran un comportament químic similar.

Evidentment, qualsevol dels isòtops del hidrogen és hidrogenoide. Un cas típic d'àtom hidrogenoide és també el d'un àtom de qualsevol element que s'ha ionizado fins a perdre tots els electrons menys un (per eixemple, He⁺, Li²⁺, Be³⁺ i B⁴⁺). Existixen ademés multitut d'àtoms exòtics que també tenen un comportament hidrogenoide per motius diversos.

Un àtom hidrógenoide inclou un núcleu carregat positivament format pel núcleu atòmic i qualsevol electró del núcleus, aixina com un únic electró de valència. Ya que l'heli és comú en l'univers, l'espectroscòpia de l'heli ionizado individualment és important en l'astronomia EUV, per eixemple, de les estreles nanes blanques DO.

l'equació de Schrödinger no relativista i l'equació de Dirac relativista per a l'àtom d'hidrogen poden resoldre's analíticamente, per la simplicitat del sistema físic de dos partícules. Les solucions de la funció d'ona d'un electró es denominen orbitales atòmics similars a l'hidrogen. Els àtoms similars a l'hidrogen són importants perque els seus orbitales corresponents guarden similitut en els orbitales atòmics de l'hidrogen.

Atres sistemes també poden denominar-se àtoms similars a l'hidrogen, com el muonio (un electró orbitando al voltant d'un antimuón), el positronio (un electró i un positrón), certs àtoms exòtics (formats en atres partícules) o els àtoms de Rydberg (en els que un electró es troba en un estat d'energia tan elevat que veu el restant de l'àtom efectivament com una càrrega puntual).

Introducció

Erro al crear miniatura:

Representació simbòlica de l'àtom d'hidrogen: núcleu (en roig), electró (en groc) i l'orbital atòmic de l'electró (en negre). La molècula estaria constituïda per dos àtoms d'hidrogen.

Com en el cas del àtom d'hidrogen els àtoms hidrogenoides són un dels pocs problemes mecáno-quàntics que es poden resoldre de forma exacta. Els àtoms o ionés que la seua capa de valència està constituïda per un únic electró (per eixemple en els metals alcalinos) tenen propietats espectroscópicas i d'enllaç semblants a les dels àtoms hidrogenoides.

La configuració electrònica més simple possible és la d'un únic electró. La resolució analítica de l'àtom d'hidrogen neutre que posseïx la mateixa cantitat d'electrons, és dir un, és en essència la mateixa per als àtoms hidrogenoides. Aixina que la forma dels orbitales i els nivells d'energia seran semblants.

Pel contrari, per a àtoms en dos o més electrons la resolució de les equacions solament es pot fer per mig de métodos aproximativos. Els orbitales d'àtoms multielectrónicos són cualitativamente similars als orbitales del hidrogen i, en els models atòmics més simples, es considera que tenen la mateixa forma. Pero si es pretén realisar un càlcul rigorós i precís es tindrà que recórrer a aproximacions numèriques.

Els orbitales dels àtoms hidrogenoides s'identifiquen per mig de tres números quàntics: n, l, i m_l. Les regles que restringixen els valors dels números quàntics i les seues energies (vore més avall) expliquen la configuració electrònica dels àtoms i la conformació de la taula periòdica.

Els estats estacionarios (estats quàntics) dels àtoms hidrogenoides són els seus orbitales atòmics. A pesar de tot, en general, el comportament d'un electró no està plenament descrit per un orbital simple. Els estats electrònics es representen millor com "mescles" dependents del temps (combinacions llineals) de varis orbitales. Vore Orbitales moleculars per combinació llineal de orbitales atòmics.

El número quàntic n va aparéixer per primera volta en el model atòmic de Bohr. Determina, entre atres coses, la distància dels electrons sobre el núcleu. Tots els electrons en el mateix valor de n formen un nivell o capa. Els electrons en idèntic número n pero diferent l componen els cridats subniveles o subcapas. El model atòmic de Sommerfeld que incorporava un refinament relativista de l'electró va provar que l'energia depenia també dels atres números quàntics tal com s'aprecia en la solució relativista per mig de l'equació de Dirac.

Caracterisació matemàtica

La caracterisació dels àtoms hidrogenoides es realisa en el marc de la mecànica quàntica, ya que per les dimensions de dits sistemes físics ni la mecànica clàssica que descriu adequadament el moviment de partícules macroscòpiques a velocitats moderades, ni l'electromagnetisme clàssic són aplicables a escales tan menudes. Dins de la mecànica quàntica una primera aproximació s'obté per mig de l'equació de Schrödinger que prediu cualitativamente totes les característiques importants dels estats estacionarios dels àtoms hidrogenoides i perimte obtindre valors quantitatius molt precisos para casi totes les magnituts. Un refinament d'este tractament és l'anàlisis relativiste per mig de l'equació de Dirac que prediu chicotetes correccions a les solucions obtingudes de l'anàlisis no-relativiste per mig de l'equació de Schrödinger.

Potencial electrostàtic

Els orbitales atòmics dels àtoms hidrogenoides són les solucions de l'equació de Schrödinger per al cas d'un potencial de simetria esfèrica. En este cas, el terme de potencial és el potencial de la llei de Coulomb:

a on

ε₀ és la permitividad del buit,
Z és el número atómico,
i és la càrrega elemental,
r és la distància entre l'electró i el núcleu.

Funció d'ona no relativista

Degut a que el potencial té simetria esfèrica és possible separar el moviment del centre de masses del moviment relatiu entre electró i núcleu. Aixina, el moviment relatiu es pot tractar com el moviment d'una partícula la massa de la qual és la massa reduïda, $μ$ , del sistema. D'esta manera, la funció d'ona és una funció de només tres variables espacials. Despuix d'eliminar la dependència temporal, l'equació de Schrödinger és una equació en derivades parcials de tres variables. Degut a que el potencial té simetria esfèrica és convenient utilisar les coordenades esfèriques per a obtindre les solucions, aplicant per a això el método de separació de variables. D'esta forma qualsevol autofunción ψ pot escriure's com un producte de tres funcions que solen escriure's de la forma següent:

a on θ representa l'àngul polar (colatitud) i $ϕ$ l'àngul azimutal.

D'acort en l'interpretació provabilística de la funció d'ona, esta deurà estar normalisada a 1, per lo que s'afegirà una constant de normalisació. El restant de l'equació se separa entre la part radial representada per la funció d'ona radial que incorporarà la constant de normalisació i l'angular representada pels harmònics esfèrics. Totes estes funcions seran depenents dels tres números quàntics abans citats, n, l i m. Aixina, es té lo següent:

Els números quàntics no són independents uns d'uns atres per lo que el número de combinacions possibles d'estes funcions està llimitat. Les restriccions són les següents:

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, 2, ..., n - 1

m = - l, - (l - 1), ..., 0, ..., l - 1, l

La funció radial ya normalisada es representa com:

R_{n l} (r) = {[\frac{(n - l - 1)!}{2 n [(n + l)!]}]}^{1 / 2} {(\frac{2 Z}{n a_{μ}})}^{l + 3 / 2} r^{l} e^{- \frac{Z r}{n a_{μ}}} L_{n - l - 1}^{2 l + 1} (\frac{2 Z r}{n a_{μ}})

Sent $L_{n - l - 1}^{2 l + 1} (\frac{2 Z r}{n a_{μ}})$ les funcions associades de Laguerre i $a_{μ} = \frac{4 π ε_{0} ℏ^{2}}{μ e^{2}}$ . Note's que $a_{μ}$ és aproximadament igual al ràdio de Bohr, $a_{0}$ . Si la massa del núcleu és infinita llavors $μ = m_{e}$ i $a_{μ} = a_{0}$ .

No obstant, és més habitual trobar les autofunciones expressades en funció de la funció radial reduïda: $P_{n l} = r R_{n l}$

Aixina que la funció d'ona queda com seguix:

Nivells d'energia no relativista

Archiu:Atomic orbitals n1234 m-eigenstates.png

Conjunt complet de

ψ_{n l m}

eigenfunciones fins a n = 4. Els orbitales sòlits tanquen el volum per damunt d'un cert llindar de densitat de provabilitat. Els colors representen la fase complexa.

En el cas dels àtoms hidrogenoides al no haver interaccions entre electrons, puix solament hi ha un, l'energia dels orbitales atòmics pot ser calculada analíticamente de forma exacta. Els valors d'energia permesos són

Habitualment es considera $μ = m_{e}$ , per lo que els valors d'energia s'expressen com:

a on $E_{h}$ és l'unitat atòmica d'energia o Hartree. Com es pot vore, la fòrmula solament depén del número quàntic principal. Açò conferix als diferents estats d'energia lo que es denomina degeneració accidental. Per eixemple per a n = 2 existixen quatre estats possibles, <n,l,m> = <2,0,0>, <2,1,0>, <2,1,+1> i <2,1,-1>, en la mateixa energia per a $l = 0$ que per a $l = 1$ . Pero ya que la funció d'energia solament depén de n i no de l, tots ells tindran, en principi, la mateixa energia (la degeneració en m és conseqüència de la invariancia baixe rotacions de tots els potencials centrals). Esta aproximació en la mida dels nivells d'energia rep el nom de estructura grossa. No obstant, el fet de que la degeneració siga accidental es deu a que no apareix per a atres potencials centrals, sino just per a un potencial que decaiga exactament com el de Coulomb, o siga, exactament en l'invers de la distància. Clásicamente esta dependència en la distància en l'energia potencial fa que es puga construir una cantitat vectorial (el vector de Runge-Lenz) que permaneix constant en el moviment. Cuánticamente, les components de l'operador vectorial que representen a l'observable de Runge-Lenz no commuten en el moment angular orbital al quadrat, la qual cosa garantisa que tingam estats linealmente independents en el mateix autovalor de l'energia i diferent autovalor del moment angular orbital al quadrat: o siga, lo que hem cridat degeneració accidental. En realitat, existixen tres correccions distintes que fan variar sensiblement el valor de l'energia de dits nivells trencant eixa degeneració. És la denominada estructura fina de l'àtom d'hidrogen o hidrogenoide. En els àtoms multielectrónicos en l'aproximació de camp central, el potencial "apantallado" que senten els electrons i que té en conte en part la repulsió interelectrónica ya no és Coulomb (no decau en l'invers de la distància al núcleu) i no hi ha degeneració accidental.

Funció d'ona relativista

l'equació de Schrödinger aplicada a electrons és només una aproximació no relativista a l'equació de Dirac que dona conte tant de l'efecte del spin del electró. En el tractament de Dirac dels electrons de fet la funció d'ona deu substituirse per un espinor de quatre components:

A on les funciones F i G s'expressen en térmens de funcions hipergeométricas:

A modo de comparació en el cas no relativiste es donen a continuació la forma explícita del espinor de funcions d'ona de l'estat fonamental:

El llímit no relativiste s'obté fent tendir $γ : = \sqrt{1 - Z^{2} α^{2}} \to 1$ , és dir, fent tendir la constant d'estructura fina a zero.

Nivells d'energia relativista

El tractament dels electrons per mig de l'equació de Dirac solament supon chicotetes correccions als nivells donats per l'equació de Schrödinger. Tal volta l'efecte més interessant és la desaparició de la degeneració dels nivells, per l'efecte de l'interacció espin-òrbita consistent que els electrons en valors diferents del tercer número quàntic m (número quàntic magnètic) tenen diferents energia per l'efecte sobre ells del moment magnètic del núcleu atòmic. De fet els nivells energètics vénen daus per:^[2]

$E_{n} = m_{e} c^{2} \sqrt{1 + {(\frac{Z α}{n - | m | + \sqrt{m^{2} + (Z α)^{2}}})}^{2}}$

A on:

m_{e}

, és la massa del electró.

c α

, són la velocitat de la llum i la constant d'estructura fina.

Z, n, m

, són el número de protones del núcleu, el número quàntic principal i el número quàntic magnètic.

Si es prescindix de l'energia associada a la massa en repòs de l'electró estos nivells poden resulten propencs als predits per l'equació de Schrödinger, especialment en el cas m = 0:

$E_{n} - m_{e} c^{2} \approx \frac{m_{e} c^{2}}{2} {(\frac{Z α}{n - | m | + \sqrt{m^{2} + (Z α)^{2}}})}^{2}$

Correccions d'espin

Ademés de les correccions relativistes simples, en un àtom hidrogenoide poden existir correccions degudes a l'interacció del espin electrònic en el moment magnètic del núcleu, quan este no és perfectament esfèric. (vore correccions d'espin).

Vore també

Referències

↑ Chapman, Lorna Elizabeth Bailey; Núñez, María Dolores Troitiño (30 de maig de 2013). QUÍMICA CUÁNTICA. LA QUÍMICA CUÁNTICA EN 100 PROBLEMAS (en és), Editorial UNED. ISBN 9788436266740.
↑ Hydrogenic Solutions of Dirac's Equation

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Átomo hidrogenoide» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Chapman, Lorna Elizabeth Bailey; Núñez, María Dolores Troitiño (30 de maig de 2013). QUÍMICA CUÁNTICA. LA QUÍMICA CUÁNTICA EN 100 PROBLEMAS (en és), Editorial UNED. ISBN 9788436266740.

[2] Hydrogenic Solutions of Dirac's Equation

[1]

[2]