Catión dihidrógeno

El catión dihidrógeno, ion molecular dihidrógeno, o H₂⁺, és l'ion molecular més senzill. Està compost per dos protones en càrrega positiva i un electró en càrrega negativa, i pot formar-se en l'ionisació d'una molècula neutra d'hidrogen. És de gran interés històric i teòric perque, tenint un sol electró, es pot resoldre l'equació de Schrödinger d'este sistema d'una manera relativament senzilla per l'absència de repulsió electró-electró (correlació electrònica). Les solucions analítiques per als autovalorés de l'energia són una generalisació de la funció W de Lambert (vore funció W de Lambert i les seues referències per a més detalls sobre esta funció).Després, el cas dels núcleus abraçats pot resoldre's analíticamente per complet usant un sistema algebraic per ordenador i, a conseqüència d'això, sol aparéixer com a eixemple en la majoria dels llibres de text de Química quàntica.

El primer anàlisis en èxit de l'H₂⁺ per mig de la mecànica quàntica va ser publicat pel físic danés Øyvind Burrau en 1927, només un any despuix de la publicació de la mecànica ondulatoria d'Erwin Schrödinger. Els intents anteriors usant la vella teoria quàntica havien segut publicats en 1922 per Karel Niessen i Wolfgang Pauli, i en 1925 per Harold Urey. En 1928, Linus Pauling va publicar una revisió posant junts el treball de Burrau en els de Walter Heitler i Fritz London sobre la molècula d'hidrogen.

L'enllaç en H₂⁺ pot descriure's com un enllace covalente d'un electró, que té un orde d'enllaç formal d'un mig (1/2).

Este ion es forma habitualment en núvols moleculars en l'espai, i és important en la química del mig interestelar.

Enfocament mecano-quàntic, simetria i asíntoticitat

Ion Hidrogen molecular H2+ en núcleus enllaçats A i B, distància internuclear R i pla de symmetry M.

L'equació d'ona electrònica més simple de Schrödinger per al ion molecular dihidrógeno

$H_2^{+}$

es representa en dos centres nuclears fixos, senyalats com A i B, i un sol electró. Pot escriure's com:

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V)\psi =E\psi ,$

a on $V$ és la funció d'energia potencial de Coulomb electró-núcleu :

$V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b})$

i I és l'energia (electrònica) d'un estat mecano-quàntic dau (autoestado o eigenstate), en la funció d'estat electrònic $\psi =\psi (𝐫)$ que depén de les coordenades espacials de l'electró. Un terme aditiu $1/R$, que és constant per a una distància internuclear fixa $R$, ha sidoomitido del potencial $V$, ya que simplement canvia el autovalor. Les distàncies entre l'electró i els núcleus es denoten $r_a^{}$ i $r_b^{}$. En unitats atòmiques $(\hslash =m=e=4\pi {\epsilon }_0=1)$ l'equació d'ones és:

$(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+V)\psi =E\psi \text{y}V=-\frac{1}{r_a^{}}-\frac{1}{r_b^{}}.$

Podem triar el punt mig entre els núcleus com orige de coordenades. Dels principis de simetria general es deduïx que les funcions d'ona poden caracterisar-se pel seu comportament simètric respecte a l'inversió espacial (de r $\to$ -r). Hi ha funcions d'ona :${\psi }_{+}(𝐫)$, que són simetricas sobre l'inversió espacial, i hi ha funcions d'ona  :${\psi }_{-}(𝐫)$, que són anti-simetricas baix esta operació de simetria: ${\psi }_{\pm }(-𝐫)=\pm {\psi }_{\pm }(𝐫).$ Notem que la permutació (intercanvi) dels núcleus té un efecte similar sobre la funció d'ona electrònica. Solament mencionarem que per a un sistema de molts electrons, el comportament propi de $\psi$ sobre la simetria de permutació dels electrons (principi d'exclusió de Pauli) deu ser garantisat, ademés d'eixes simetria ya discutides anteriorment. Ara les equacions de Schrödinger per a estes funcions d'ona de simetria adaptada són:

$\begin{array}{c}(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+V){\psi }_{+}=E_{+}{\psi }_{+}\\ (-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+V){\psi }_{-}=E_{-}{\psi }_{-}\end{array}$

L'estat fonamental (l'estat discret de menor energia) de $H_2^{+}$ és l'estat ${\mathrm{X}}_{}^2{\Sigma }_{\mathrm{g}}^{+}$ en la corresponent funció d'ona ${\psi }_{+}$ indicada com $1s{\sigma }_{\mathrm{g}}^{}$. hi ha també un primer estat excitat ${\mathrm{A}}_{}^2{\Sigma }_{\mathrm{u}}^{+}$, en el seu ${\psi }_{-}$ indicada com $\mathrm{2}\mathrm{p}{\sigma }_{\mathrm{u}}^{}$. Els sufixos g i o procedents de l'alemà gerade (parell) i ungerade (impar) apareixen ací per a senyalar solament el comportament simètric baix una inversió espacial. El seu us és la pràctica habitual per a la designació d'estats electrònics de molècules diatómicas, mentres per als estats atòmics s'usen els térmens even (parell) i odd (impar)

Energies (I) dels estats discrets de menor energia del ion hidrogen molecular $H_2^{+}$ en funció de la distància internuclear (R) en unitats atòmiques. Vore el text per a més detall.

Asíntoticament, les autoenergías (totals)

$E_{\pm }$

per a estos dos estats de menor energia tenen la mateixa expansió asintòtica com una potència inversa de la distància internuclear R:

$E_{\pm }=-\frac{1}{2}-\frac{9}{4R^4}+O(R^{-6})+\cdots$

Açò i les curves d'energia inclouen el terme internuclear 1/R. La diferència real entre eixes dos energies es diu desdoblament(splitting) de l'energia d'intercanvi i està donada per:

$\Delta E=E_{-}-E_{+}=\frac{4}{e}R{e}^{-R}[1+\frac{1}{2R}+O(R^{-2})]$

que es desvanix exponencialment quan la distància internuclear R es fa major. El terme $\frac{4}{e}R{e}^{-R}$ plom es va obtindre primer pel método de Holstein–Herring. D'igual modo, les expansions asintòtiques en potències de 1/R s'han obtingut per a un orde elevat per Cizek et al. per als dèu estats discrets de menor energia del ion molecular hidrogen (en el cas de núcleus enllaçats). Per a sistemes moleculars diatómicos i poliatómicos en general, l'energia d'intercanvi és per tant molt difícil de calcular per a distàncies internucleares grans pero no obstant es necessita per a interaccions de llarc alcanç incloent estudis relacionats en el magnetisme i efectes d'intercanvi de càrrega. Estos són de particular importància en la física estelar i atmosfèrica.

Les energies per als estats discrets de menor energia es mostren en el gràfic. Poden obtindre's en una precisió arbitrària usant àlgebra de computació a partir de la funció W de Lambert generalisada (vore l'equació $(3)$ en eixe lloc i la referència de Scott, Aubert-Frécon and Grotendorst) pero varen ser obtingudes inicialment per métodos numèrics fins a doble precisió en el programa més precís disponible, ODKIL.

• Les llínees contínues roges són estats ${}_{}^2{\Sigma }_{\mathrm{g}}^{+}$.
• Les llínees verdes discontínues són estats ${}_{}^2{\Sigma }_{\mathrm{u}}^{+}$.
• La llínea blava discontínua és un estat ${}_{}^2{\Pi }_{\mathrm{u}}$ i
• la llínea rosa de punts és un estat ${}_{}^2{\Pi }_{\mathrm{g}}$

Note's que encara que les solucions de autovalores de la funció W de Lambert generalisada substituïx estes extensions asintòtiques, en la pràctica, són més útils per a distàncies pròximes a la llongitut d'enllaç. Estes solucions són possibles perque l'equació diferencial parcial de l'equació d'ona ací se separa en dos equacions diferencials ordinàries acoplades usant coordenades esferoidals allargades

Formació

El ion dihidrógeno es forma en la Naturalea per interacció dels rajos còsmics i la molècula d'hidrogen. Un electró és eliminat deixant arrere el catión.

H₂ + raig còsmic → H₂⁺ + i^- + raig còsmic

Les partícules dels rajos còsmics tenen suficient energia per a ionizar moltes molècules abans d'aplegar a parar-se.

En la naturalea el ion es destruïx per reacció en atres molècules d'hidrogen, formant aixina el catión trihidrógeno i un àtom lliure d'hidrogen:

H₂⁺ + H₂ → H₃⁺ + H

L'energia de ionisació de la molècula d'hidrogen és 15.603 eV. L'energia de dissociació del ion és de només 1.8 ev. Electrons d'alta velocitat també poden causar l'ionisació de molècules d'hidrogen. El pico de resonància (pico de la curva de secció eficaç) per a l'ionisació per protones d'alta energia és de 70000 eV en una secció eficaç de 2.5x10^-16 cm². Un protó dels rajos còsmics demenor energia pot també arrancar un electró d'una molècula d'hidrogen neutra per a formar un àtom d'hidrogen neutre en un pico de secció eficaç d'al voltant de 8000 eV per a 8x10^-16 cm².

Sometent a un plasma a una descàrrega elèctrica en una cèlula artificial de descàrrega de plasma també es produïx el ion.