Funció W de Lambert

Archiu:Lambert-w.svg

Funció W de Lambert

Archiu:LambertW2.gif

Gràfica de W₀(x) per a −1/i ≤ x ≤ 5

Archiu:Product Log.jpg

La funció en el pla complex.

En matemàtiques, la funció W de Lambert, denominada aixina en honor a Johann Heinrich Lambert, si ben també es coneix com a funció Omega o log producte és la funció inversa de f(w) = we^w a on i^w és la funció exponencial natural i w és qualsevol número complejo. La funció es definix per mig de W. Per a tot número complejo denominat z, es té:

$z=W(z)e^{W(z)}.$

ya que la funció f no és inyectiva, la funció W és multivaluada (llevat en 0). De restringir els arguments reals, x i w reals, la funció és definida solament per x ≥ −1/i, i és doble-valuada en (−1/i, 0); la restricció adicional w ≥ −1 definix una funció simple-valuada W₀(x), representable gràficament. Tenim W₀(0) = 0 i W₀(−1/i) = −1. La branca alternativa en [−1/i, 0) en w ≤ −1 és indicada com a W₋₁(x) i decreix de W₋₁(−1/i) = −1 a W₋₁(0⁻) = −∞.

La funció W de Lambert no pot expressar-se en térmens de funcions elementals. És útil en combinatòria, per eixemple en l'enumeració d'arbres. Pot amprar-se per a resoldre vàries equacions que alberguen exponencials i també participa en la solució d'equacions diferencials retardades temporalment, com i'(t) = a i(t − 1).

Archiu:Plot Lambert W.jpg

Gràfica realisada en el software Mathematica. Comando en el software Mathematica: Plot[{LambertW[-1, x], LambertW[0, x]}, {x, -1, 6}, PlotRange->All]

Definició

Si x és real pero major o menor que $-e^{-1}$, o si x és complex o imaginari pur, llavors:

$W(x)=\frac{x}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{(1-v\cot v{)}^2+v^2}{x+v\csc v\cdot e^{-v\cot v}}\mathrm{d}v$

Si $\Re (x)<-e^{-1},\Im (x)\le -e^{-1}$，

$W(x)=1+(\ln x-1)e^{-\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+t}\ln \frac{\ln x+t-\ln t-\mathrm{i}\pi }{\ln x+t-\ln t+\mathrm{i}\pi }\mathrm{d}t}$

La funció $W_k(x)$ equival a la següent integral:

$W_k(x)=1+(\ln x+2k\pi \mathrm{i}-1)e^{-\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\ln \frac{\ln x+t-\ln t+(2k-1)\mathrm{i}\pi }{\ln x+t-\ln t+(2k+1)\mathrm{i}\pi }\mathrm{d}t}$

，

a on $x\in ℝ-(-e^{-1};0),k\in \mathbb{Z}$

Història

Lambert inicialment va postular una funció relacionada (l'equació transcendental de Lambert), que va donar lloc a un artícul en 1783 en el qual es discutia el cas especial we^w. No obstant, l'inversa de we^w va ser descrita per Polya i Szegö en 1925. La funció de Lambert va ser "redescubierta" al voltant d'una volta per década en aplicacions especialisades, pero la seua importància no es va apreciar realment fins a la década de 1990. Quan es va anunciar que la funció W de Lambert dona una solució exacta als valors propis de l'energia del sistema quàntic corresponent al model descrit per l'operador de Dirac per a duplicar aixina per al cas d'igualtat de càrregues - un problema físic fonamental - Corless i els desenrolladors del sistema Maple varen fer una busca bibliogràfica i varen descobrir que esta funció apareix en tots els llocs en les aplicacions pràctiques.

Derivació i integració

Per derivació implícita, es troba que W satisfà l'equació diferencial ordinària.

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}z\ne -1/e,$

per lo tant:

$\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}z\ne -1/e.$

La funció W (x), i algunes expressions que impliquen a W(x), poden ser integrades amprant la regla de substitució w = W(x), i.i. x = w i^w:

$\int W(x)dx=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C$

Séries de Taylor

Les séries de Taylor de W₀ entorn a 0 poden ser resoltes per mig del teorema d'inversió de Lagrange que procedix de:

El ràdio de convergència és 1/i, com pot vore's per mig del criteri de d'Alembert. La funció definida per les séries pot estendre's a una funció holomórfica definida per a tots els número complejo en un cort de branca entorn al interval (−∞, −1/i]; la mencionada funció holomórfica definix la branca principal de la funció W de Lambert.

Aplicacions

Algunes equacions que posseïxen exponencials poden resoldre's per mig d'esta funció. Per a això, l'estratègia general consistix en substituir totes les instàncies de lo desconegut a una part de l'equació i tornar-la, llavors, a la forma I = Xe^X, per a la qual W proporciona una solució.

És dir:

$X=Y{e}^Y⟺Y=W(X)$

Eixemples

Eixemple 1

$2^t=5t$

$\Rightarrow 1=\frac{5t}{2^t}$

$\Rightarrow 1=5t{e}^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow \frac{1}{5}=t{e}^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow \frac{-\ln 2}{5}=(-t\ln 2)e^{(-t\ln 2)}$

$\Rightarrow -t\ln 2=W\left(\frac{-\ln 2}{5}\right)$

$\Rightarrow t=\frac{-W\left(\frac{-\ln 2}{5}\right)}{\ln 2}$

De forma més general, l'equació

$p^{ax+b}=cx+d$

a on

$p>0\wedge c,d\ne 0$

pot transformar-se per mig de la substitució

$-t=ax+\frac{ad}{c}$

en

$t{p}^t=R=-\frac{a}{c}{p}^{b-\frac{ad}{c}}$

donant

$t=\frac{W(R\ln p)}{\ln p}$

que es resol com

$x=-\frac{W(-\frac{a\ln p}{c}{p}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln p}-\frac{d}{c}$

Eixemple 2

Tècniques similars duen a

$x^x=z,$

en solució

$x=\frac{\ln (z)}{W(\ln z)},$

o, de forma equivalent,

$x=\exp (W(\ln (z))).$

Eixemple 3

Sempre que l'exponencial complex infinit tipo tetración

$z^{z^{z^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=c$

convergixca, la funció W de Lambert proporciona un valor llímit com

$c=\frac{W(-\ln (z))}{-\ln (z)}$

en el qual ln(z) denota la branca principal de la funció logarítmica complexa.

Eixemple 4

Les solucions para

$x{\log }_b\left(x\right)=a$

posseïxen la forma

$x=\frac{a\ln (b)}{W(a\ln (b))}$

Eixemple 5

$a^x=b{x}^c$

a on $a>0,\ne 1\wedge b,c\ne 0$

$\Rightarrow a^{x/c}=b^{1/c}x$

$\Rightarrow 1=\frac{b^{1/c}x}{a^{x/c}}$

$\Rightarrow 1=b^{1/c}x{e}^{-(x/c)\ln (a)}$

$\Rightarrow \frac{1}{b^{1/c}}=x{e}^{-(x/c)\ln (a)}$

$\Rightarrow -\frac{\ln (a)}{c{b}^{1/c}}=-(x/c)\ln (a)e^{-(x/c)\ln (a)}$

$\Rightarrow W(-\frac{\ln (a)}{c{b}^{1/c}})=-(x/c)\ln (a)$

$\Rightarrow x=-\frac{c}{\ln (a)}W(-\frac{\ln (a)}{c{b}^{1/c}})$

Eixemple 6

La solució per a la corrent elèctrica en circuits diodo/resistència pot escriure's com una funció W.

Eixemple 7

l'equació diferencial en retardo

$\dot{y}(t)=ay(t-1)$

posseïx l'equació característica $\lambda =a{e}^{-\lambda }$, que du a $\lambda =W_k(a)$ i $y(t)=e^{W_k(a)t}$, a on $k$ és l'índex de la branca. Si $a$ és real, només deu considerar-se $W_0(a)$.

Generalisacions

La funció W de Lambert abastix de solucions reals a les equacions "algébricas-transcendentales" (d'això x) de la forma:

$e^{-cx}=a_o(x-r)(1)$

o a₀, c i r són constants reals. La solució és $x=r+W(c{e}^{-cr}/a_o)/c$. Les generalisacions de la funció W de Lambert inclou:

• un llaç antany desconegut entre la Relativitat general i la Mecànica quàntica (Gravetat quàntica) en dimensions reduïdes, i descrit en el periòdic Classical and Quàntum Gravity (la gravita clàssica i quàntica) o la part(partida) de dreta de l'equació (1) és ara un polinomi quadràtic x:

$e^{-cx}=a_o(x-r_1)(x-r_2)(2)$

o r₁ i r₂ són unes constants reals, les raïls del polinomi quadràtic. En este cas, la solució és una funció en un sol argumente x pero els térmens com a r_i i a_o són uns paràmetros de la funció. D'este punt de vista, la generalisació s'assembla a la Série hipergeométrica i la funció de Meijer G pero pertany no obstant a una "classe" diferent de funcions. Quan r₁ = r₂, cada costat de (2) pot ser factorizado i es reduïx a (1) i puix la solució es reduïx a la de la funció estàndar de W. L'equació (2) és la gobernant el camp d'un Dilatón - pel qual és derivada la mètrica del sistema gravitacional de dos cossos en les dimensions 1+1 (és dir una dimensió espacial i una dimensió temporal) per al cas de les masses (al descans) desiguals - aixina com els valors nets de l'energia del sistema quàntic que consistix del model descrit per l'operador de Dirac a pou doble per al cas de càrregues(despeses) desiguals en una dimensió.

• les solucions analítiques per als valors nets de l'energia d'un cas especial de la versió quàntica del problema dels tres cossos, és dir l'ion hidrogena molecular (en tres dimensions). La part de dreta de (1) (o (2)) és ara un cocient de polinomis d'orde infinita x:

$e^{-cx}=a_o\frac{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-r_i)}{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-s_i)}(3)$

O r_i i s_i són constants reals distintes i x és una funció del valor net de l'energia i la distància internuclear R. L'equació (3) en estos casos especialisats i espremuts(expressats) en (1) i (2) correspon a una classe considerable d'equacions a determini diferencial. Gràcies per la noció d'Hardy d'un "fals derivativo", múltiples raïls exactes s'han trobat en casos especials d'equació (3).

Les aplicacions de la funció W de Lambert en els problemes de la física fonamental fins a no són agotades per al cas estàndar espremut en (1), com es veu en física atòmica i molecular i el criteri de Keiper-Li per a la Hipòtesis de Riemann.

Valors especials

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}$

$W(-\frac{\ln 2}{2})=-\ln 2$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W(0)=0$

$W(1)=\Omega$ (la Constant Omega de Lambert)

$W(e)=1$

Algoritme d'evaluació

La funció W pot evaluar-se per mig de la relació de recurrencia

proporcionada en Corless et al. per a calcular W. Junt en l'estima d'evaluació d'error de Chapeau-Blondeau i Monir. Açò calcula la branca principal per a $x>-1/e$.

Gràfics

• Representacions de la funció W de Lambert en el pla complex
• z = Re(W0(x + i i))
  z = Re(W₀(x + i i))
• z = Im(W0(x + i i))
  z = Im(W₀(x + i i))
• W0(x + i i)
  W₀(x + i i)
• Archiu:LambertWAll.png

Enllaços externs

• Lambert W-Function en MathWorld.

• Lambert function from Wolfram's function site.
• Computing the Lambert Wfunction
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PDF)
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
• Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• Còdic en C