Teorema d'inversió de Lagrange

En l'àmbit del anàlisis matemàtic, la teorema d'inversió de Lagrange, també denominat fòrmula de Lagrange-Bürmann , permet obtindre l'expansió en série de Taylor de la funció inversa d'una funció analítica.

Enunciat de la teorema

Si la dependència entre les variables w i z es troba definida de forma implícita per mig d'una equació del tipo

$f(w)=z$

a on f és analítica en un punt a i f '(a) ≠ 0. Llavors és possible invertir o resoldre l'equació per a w:

$w=g(z)$

a on g és analítica en el punt b = f(a). Açò és també denominat reversión de séries.

l'expansió en série de g és

$g(z)=a+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\underset{w\to a}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\left(\frac{w-a}{f(w)-b}\right)}^n\right)\frac{(z-b{)}^n}{n!}\right).$

Esta fòrmula també val para séries de potència formals i pot ser generalisada de vàries maneres. Pot ser formulada per a funcions de vàries variables, pot ser estesa per a cobrir el cas F(g(z)) per a una funció analítica F, i pot ser generalisada per al cas f '(a) = 0, a on l'inversa g és una funció multivaluada.

La teorema va ser demostrada per Lagrange i generalisat per Hans Heinrich Bürmann, abdós a finals de el XVIII. Existix una deducció directa utilisant anàlisis complex i integració de contorn; la versió de séries complexes de potència formals és clarament una conseqüència de conéixer la fòrmula de polinomis, de manera que es puga aplicar la teoria de funcions analítiques. En realitat, la maquinària de la teoria de funcions analítiques solament entra en un punt formal en esta demostració, lo que fa falta és alguna propietat del residu formal, i existix una demostració formal directa.

Vore també

• Fòrmula de Faà vaig donar Bruno.
• Teorema de reversión de Lagrange.