Expansió en série

Aproximació d'una funció usant Polinomis de Legendre. Quant major siga el grau, millor és l'aproximació. En l'image s'observa cóm el grau del polinomi va aumentant i la gràfica s'assembla més a la de la funció a aproximar

En matemàtiques, una expansió en série és un método per a calcular una funció que no pot ser expressada solament per mig d'operadors elementals (suma, resta, multiplicació i divisió).

La denominada série resultant a sovint pot llimitar-se a un número finito de térmens, donant com resultat una aproximació de la funció expandida. Quants menys térmens de la seqüència s'usen, més simple serà esta aproximació. A sovint, la inexactitud resultant (és dir, la série dels térmens omesos) es pot descriure per mig d'una equació que involucra una cota superior asintòtica (vore també série asintòtica). L'expansió de la série en un interval donat també és una forma d'aproximació a una funció analítica.

Hi ha varis tipos d'expansions en série, tals com:

• Série de Taylor: una série de potències basada en les derivadas d'una funció en un sol punt.
• Serie de Maclaurin: un cas especial d'una série de Taylor, centrat en zero.
• Série de Laurent: una extensió de la série de Taylor, que permet valors d'exponent negatiu.
• Série de Dirichlet: utilisada en teoria de números.
• Série de Fourier: descriu les funcions periòdiques com una série de funcions sens i cosenos. En acústica, per eixemple, el to fonamental i el corresponent sobretono junts formen un eixemple d'una série de Fourier.
• Séries newtonianas
• Polinomis de Legendre: s'utilisen en física per a descriure un camp elèctric arbitrari com una superposició d'un camp dipolar elèctric, un camp cuadrupolar, un camp octopolar, etc.
• Polinomis de Zernike: s'usen en òptica per a calcular les aberracions de sistemes òptics. Cada terme de la série descriu un tipo particular d'aberració.
• Fòrmula de Stirling: s'utilisa com una aproximació per als factorialés.

Per a més detalls, consulténse els artículs mencionats.