Desenroll multipolar

Un desenroll multipolar és una série matemàtica que representa una funció matemàtica i que depén dels ànguls (usualment els ànguls polar i assimutal de les coordenades esfèriques). Estes séries són útils perque permeten aproximar, per mig de la truncació de dita série, el camp electromagnètic o gravitatorio de distribucions de masses o càrregues complicades, que no poden ser considerades puntuals.

Introducció

Quan s'aplica a un potencial el primer terme (terme d'orde zero) es diu terme monopolar i depén només de la càrrega o massa total, el segon terme (orde 1) és el terme dipolar, el següent el cuadrupolar, el octupolar i aixina successivament. És interessant que el terme dipolar pot ser interpretat en el cas elèctric com el camp creat per dos càrregues de signe opost, el terme cuadrupolar com dos dipols antiparalelos, etc. De fet el terme $n$-ésimo de l'expansió pot ser interpretat com l'associat a $2^n$ càrregues, la superposició de totes eixes distribucions de càrrega finalment resulta equivalent a la distribució de càrregues original.

Desenrolls multipolares esfèrics

El cas més freqüent de desenroll multipolar és una suma d'harmònics esfèrics. Aixina, es pot escriure qualsevol funció depenent del àngul assimutal i polar com la suma:

A on:

$Y_l^m(\theta ,\varphi )$ representen els harmònics esfèrics.

$C_l^m$ són els coeficients concrets de l'expansió:

El terme $C_0^0$ representa la part monopolar;

El terme $C_1^{-1},C_1^0,C_1^1$ la part dipolar, etc.

Equivalentemente la série anterior pot escriure's com:

a on cada $n^i$ representa un vector unitari en una direcció donada pels ànguls $\theta$ i $\varphi$, i els índexs estan subjectes a la conveni de sumación d'Einstein. En este desenroll el terme independent $C$ és un escalar cridat moment monopolar o «càrrega total», el $C_i$ és un conjunt de tres números que representen el moment dipolar, els $C_{ij}$ representen el moment cuadrupolar, i aixina seguint.

Les anteriors expansions de coeficients poden ser reals o complexes. Si la funció el desenroll de la qual es busca és real, llavors els coeficients del desenroll deuen satisfer certes propietats. En l'expansió en harmònics esfèrics, deu complir-se que:

En una expansió multivectorial, cada coeficient deu ser real:

Mentres que les expansions de funcions escalares són la principal aplicació del desenroll multipolar, estes expansions poden generalisar-se per a descriure tensors de ranc arbitrari. Açò és precisament lo que es troba quan es busquen expansions multipolares del potencial vector en electromagnetisme, o en la descripció de l'ones gravitatorias com a destorbament de la mètrica de l'espai-temps.

Per a descriure funcions en tres dimensions, llunt de l'orige, els coeficients del desenroll multipolar poden escriure's com a funcions de la distància a l'orige $r$, usualment com série de Laurent en potències de $r$. Per eixemple, per a descriure el potencial electrostàtic $V$, d'una font continguda en una chicoteta regió prop de l'orige, els coeficients poden escriure's com:

Aplicacions

Els desenrolls multipolares s'usen freqüentment en la teoria del potencial tant per a representar camps gravitatorios com electrostàtics o magnètics associats a sistemes de masses, càrregues elèctriques o corrents. També la propagació d'ones electromagnètiques usa este tipo de desenrolls.

Forma del núcleu atòmic

Un eixemple clàssic és el càlcul dels moments multipolares «externs» d'un núcleu atòmic a partir de les seues interaccions en els multipolos «interns» associats als orbitales electrònics. Eixos moments multipolares dels núcleus informen sobre la distribució de càrrega en l'interior dels mateixos, i per tant revelen informació sobre la forma i estructura interna del núcleu. La truncació de la série multipolar fins al seu primer terme diferent de zero és freqüentment útil per a càlculs teòrics en física nuclear.

Método multipolar ràpit

Les expansions multipolares també són útils en simulacions numèriques i constituïxen la base del método multipolar ràpit (fast multipole method) de Greengar i Rokhlin, que és un método general per al càlcul eficient de les energies i forces en sistemes de partícules interactuantes. L'idea fonamental és descompondre les partícules en grups, les partícules dins d'un grup interactuen normalment (i.i. per mig d'una interacció descrita pel potencial complet), mentres que les energies i forces entre grups diferents es determinen calculant els seus moments multipolares. L'eficiència del método multipolar ràpit és similar a la de sumación de Ewald, pero és superior si les partícules estan agrupades, és dir, el sistema té grans fluctuacions de densitat.

Desenroll multipolar d'una distribució de càrrega

Si es considera una distribució de càrregues formada per $N$ càrregues puntuals $q_i$ en posicions conegudes $r_i$, assumint com a hipòtesis que les càrregues estan concentrades prop de l'orige de coordenades (de tal manera que per a qualsevol $i$: $r_i<r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ a on $r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ és un valor finito), llavors el potencial $V(R)$ anara de la regió que conté les càrregues pot en un punt $|R|>r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ ser expressat per mig del desenroll multipolar incloent potències de $1/R$. Açò s'expressa

a on els ànguls vénen daus per:

$𝐑=R(\sin \Theta \cos \Phi ,\sin \Theta \sin \Phi ,\cos \Theta )$

$𝐫=r(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$

En l'últim desenroll multipolar els moments multipolares resulten ser: